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基于学情,推动概念教学

2021-05-14祁荣圣

初中生世界·初中教学研究 2021年4期
关键词:乘方平方根设计说明

祁荣圣

数学概念是数学学习的起点,是进行数学推理、判断的依据,是建立定理、法则、公式的基础,也是形成数学思想方法的出发点。如果对学习概念重视不够,或是学习方法不当,既影响对概念的理解和运用,也直接影响思维能力的发展。有些学生不能灵活解决问题,归根结底还是没有真正掌握好概念。因此,概念教学需要从知识内部结构和学生认知的实际出发,充分展示概念的自然生长过程,引导学生从概念学习中领悟隐含于数学问题探索中的思想方法,并在“知识消化”过程中形成主动研究问题、解决问题的方式方法。笔者以苏科版数学八年级上册第四章“平方根”第一课时为例,通过“感知概念→生成概念→构建概念→深化概念”的教学模型,谈谈如何有效推动概念教学。

一、概念教学案例

(一)引入部分

1.问题:直角三角形两边长为3、4,则第三边长为              。

【设计说明】承接数学教材内部的序,由学生熟知的易错题出发,克服勾3股4弦5的思维定式,利用学生生成的错误资源感受分类思想。

2.数学运算的发展史。

算术数→引进负数:代数三次飞跃中的第一次飞跃→产生有理数→引进无理数:数学发展史上三次危机中的第一次危机→产生什么数?

【设计说明】充分考虑学段内知识的发生、发展和关联,突出章节起始课教学的大范畴。

3.从知识完备性来看数的运算。

有理数的减法与除法是如何运算的?乘方对应产生什么运算?

【设计说明】借助减法与除法转化成加法和乘法的思想方法,启发学生思考乘方对应的运算,感受本节课所学知识的内在价值。

(二)展開部分

1.生活数学紧相连,瞻前顾后想关联。

(1)【生活问题】已知一块正方形木板的边长是2米,那么这块正方形木板的面积是多少平方米?

【数学问题】计算:42,([13])2,(-0.3)2。

【基本结论】两类问题都是已知底数和指数,根据乘方定义求出幂。用符号语言表述为“在a2=x中,已知a,利用乘方,可以求出x”。

现在把上述问题反过来,逆向思考新问题,你会编题求解吗?

(2)【生活问题】已知一块正方形木板的面积是4平方米,那么这块正方形木板的边长是多少米?

【数学问题】已知一个数的平方等于16(或者[19]、0.09),这个数是多少?

【数学问题】设图1中的小方格的边长为1,你能分别算出两个长方形的对角线AB、A′B′的长吗?

【设计说明】从熟悉的生活和数学中的乘方入手,起点低,坡度小。逆向编题并解题能为平方根概念的自然生成夯实基础,同时,概念学习的同化和异化作用得以体现,彰显思维的完备性。

2.特殊一般来归纳,合情合理下定义。

【共性归纳】这两类问题相当于已知乘方的结果(幂)和指数(2),反过来求底数。用符号语言表述为“在x2=a中,已知a,如何求出x”。

【思考发现】上述问题应该是乘方运算的逆向问题。

【尝试解决】

(1)当x2=4时,因为22=4,(-2)2=4,所以x=±2。因为x代表边长,所以x=2。

(2)当x2=16时,因为42=16,(-4)2=16,所以x=±4。

(3)①当x2=169时,因为132=169,(-13)2=169,所以x=±13。因为x代表线段长,所以x=13。

②当x2=5时,因为(      )2=5,(-     )2=5,所以x=±(       )。因为x代表线段长,所以x=(       )。

【设计说明】利用题组和符号表示,方便辨析异同,利于学生区分数学与生活的同与不同,也为算术平方根的学习做好铺垫。

【基本结论】使x2=a(a≥0)成立的数有两个,它们互为相反数。

【文字表达】如果一个数的平方等于a(a≥0),那么这个数叫作a的平方根,也称为二次方根。

【符号表达】如果x2=a(a≥0),那么x叫作a的平方根。

一个正数a的正的平方根,记作“[a]”;一个正数a的负的平方根,记作“-[a]”。

正数a的两个平方根记作“±[a]”,读作“正、负根号a”。

3.以点带面理解透,规范表达很重要。

【学生交流】下列各数有平方根吗?如果有,请写出来;如果没有,请说明理由。

9,5,[925],0.16,0,-36,-0.01,-8,-2017。

【学生归纳】一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。

【给出定义】求一个数的平方根的运算叫作开平方。

例1 求下列各数的平方根。

(1)25;(2)[1681];(3)15;(4)0.09;(5)你会算(-0.3)2的平方根吗?

【设计说明】在讨论的过程中,不同层次的学生可能会遇到不同的困难,教师要给予适当的帮助和鼓励,同时板书示范(1)和(5)的解题过程,其余由学生板演,讲练结合,强化书写训练,突出文字与符号的转化意识。

例2 求下列各式中的x。

(1)x2=169;(2)4x2=169;

(3)(x2+y2)2=[1694],你会求出x2+y2吗?[对比第(1)题找出相同点与不同点。]

【设计说明】循“实例感知→抽象概念→运用概念→辨析概念”的顺序,充分发挥学生的探究主动性,从不同维度厘清平方根的概念和运用,为下一节课辨清算术平方根夯实基础。

4.回顾过程勤反思,拓展延伸再探究。

(1)所学知识:开平方的定义;平方根的定义。

(2)思想方法:从特殊到一般的归纳;数学抽象。

(3)解决疑惑:数的发展完善;数的运算完备。

(4)产生问题:

①数学中平方根往往有2个,而生活中往往只取其中的正数。你能给出实例吗?

②平方是乘方的特殊情形,开平方得平方根是开方的特殊情形。你能举例吗?

③我们发现下列计算,a+b-b=           ;a÷b×b(b≠0)=           。

类似加减、乘除,乘方与开方也互逆。你还能提出什么运算?猜想怎么算。

【设计说明】区别于一般的“你有什么收获”的自主总结,规定问题的反思小结能让学生更具象地理解核心概念,促使学生在举例中学会类比发问,形成概括化的学科方法。

二、教学反思

(一)现实需要促进知识理性生长

初中数学概念教学既要灵活地把握好感性的课堂和学生,又要教会学生理性思考。本节课从学生熟悉的问题情境中挖掘生成的错误资源,产生现有运算储备不能完全解决问题的困惑,结合数学运算发展史,充分认识运算需要扩充,需要完备,对呼之欲出的概念产生迫切需求,充分考虑学段内知识的发生、发展与关联,激发学生学习兴趣。学生感受到所学知识来源于生活,数学概念是反映数学对象本质的思维形式,是形成数学知识体系的基础,是数学思想方法的重要载体。同时,教师把实际问题抽象成数学问题,通过一个个“为什么”引导学生的数学思维得到理性生长。

(二)生成概念促进知识继续生长

知识发生发展的过程,就是展示数学概念形成和深化的过程,展示数学规律发现的过程,展示數学知识拓展和运用的过程。

教者通过比较、分析、归纳、类比等形式引出开方,从而建立新的概念,推动学生数学知识的生长,而复原知识产生的过程正是学生知识生长的基础。遵循数学教材体系和学生认知结构的概念探究过程,水到渠成地生成开方和平方根的概念,学生收获的不仅是知识,还有思维延伸的活动过程。学生会感悟到学习数学就是“玩概念”,理解概念不仅要记住概念的定义形式,还要理解概念的内涵和外延。

(三)建构概念促进学生抽象归纳能力的发展

“概念是人脑的高级产物”,哪里有数学思维活动,哪里就有数学概念的出现和运用。建立概念必须对已有的知识结构有充分的了解,再借助教师呈现的变式材料和佐证,明确概念的外延。概念的形成是经历对具体实例的特征的归纳、类比、检验后明确的本质属性。给出定义并用符号表示概念,经历概念的抽象过程,能发展学生的抽象能力、推理能力、符号意识、模型思想等,使他们逐步形成数学的学科观念。

(四)深化概念促进学生解决问题能力的发展

学生通过综合训练,不但能强化知识的理解,增强运用知识解决问题的能力,而且能发散思维,达到概念内化的效果。当学生熟练掌握开平方及其性质后,再迁移运用到开立方等,这些就是自觉的行为。

通过“感知概念→生成概念→构建概念→深化概念”的教学模型,最终让学生不仅学会概念,更重要的是让学生学会如何学习一个新的知识,并且学会把新知识与旧知识进行联系,从而丰富知识体系,提升自学的能力。这也正是课标提出的让不同的人得到不同的发展,培养学生提出问题和发现问题的能力。

(作者单位:江苏省扬州市江都区浦头中学)

本文系江苏省教育科学“十三五”规划初中专项重点自筹课题“借助数学建模培养初中生创造性思维能力的教学策略研究”(课题立项编号:E-b/2018/07)阶段性研究成果。

【参考文献】

[1]黄和悦.重过程,重思维,回归本质[J]. 中学数学教学参考(中旬),2016(9).

[2]石颐园.基于PCK内涵解析视角的初中数学概念教学策略[J]. 初中数学教与学,2017(6).

[3]傅瑞琦.让学生学会提出问题[J]. 中国数学教育,2017(12).

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