王建民，倪福泽，赵建军

（1. 太原理工大学矿业工程学院，山西太原030024；2. 成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，四川成都610059；3. 中煤（西安）航测遥感研究院有限公司，陕西西安710100）

高斯‒马尔可夫模型在许多工程实践中得到成功应用，通常认为模型中的设计矩阵是无误差的。然而，在许多情景下，设计矩阵中的元素并不能保证是常数，其本身也是含有随机误差的观测值，设计矩阵和观测向量中含有随机误差的模型通常被定义为变量误差模型（errors-in-variables，EIV）［1-2］。

最初，因为求解EIV模型参数的方法不成熟，通常忽略设计矩阵中的随机误差，而采用加权最小二乘法（weighted least-squares，WLS）近似估计EIV参数，这种方法是不严密的。1980 年，Golub 等［3］提出采用整体最小二乘法（total least-squares，TLS）估计EIV模型的未知参数。当设计矩阵和观测向量均含有随机误差时，TLS 就是最小二乘（least-squares，LS）的扩展且更具一般性［4］。TLS 将设计矩阵中的所有元素按等权对待，但实际上设计矩阵中的元素并非都含有随机误差，且精度也不尽相同，因此TLS被进一步扩展为加权整体最小二乘法（weightedTLS，WTLS），WTLS 分别给观测向量和设计矩阵附加了不同的权重，比TLS更具一般性。

一般来说，主要有两类方法实现TLS和WTLS的求解，一类方法是基于奇异值分解（singular value decomposition，SVD）的 直 接 解 算 方 法［4–8］，Akyilmaz［6］在SVD分解中给设计矩阵和观测向量赋予了相应的权矩阵，但引入的权阵并没有真正起到调配误差的作用，其本质上是对每个参数和观测值进行了缩放［9］。另一类常用的方法是基于拉格朗日辅助法构建极值函数分别对未知量进行求偏导数，许多文献据此提出了WTLS的迭代算法［2，5，8，10-12］，建立在统计框架下的这些迭代算法估计EIV模型参数是严密的［13］。……