姜祖国

吴江中学，江苏 苏州215200

学生在高中物理课程学习“单摆”之前已经学习了“弹簧振子”，对简谐运动模型、做简谐运动物体的受力特征和能量特征已有所认识，初步建立研究简谐运动的一般思路。因此，在建立单摆规律的过程中有两个目标，一是以培养学生的物理观念作为终极目标；二是在教学具体实施过程中以培养学生逻辑推理和科学探究能力作为具体目标，培养学生的科学思维、科学探究能力以及严谨的科学态度。因此，单摆的运动性质可从以下四个角度研究。

1 从能量的角度构建单摆模型

单摆装置：细线一端固定，另一端系一摆球，对摆线和摆球有以下要求：摆球要小而重，摆线要轻、细且不可伸长。单摆的重心近似为球心，单摆短时间内运动空气阻力可以忽略不计。

观察摆球运动可定性得出单摆的运动、受力、能量转化等特点。摆球在竖直平面沿圆弧做往复运动，摆球机械能守恒，动能与重力势能之间进行能量转化。

2 从运动的角度认识单摆规律

2.1 现象观察

摆球从最低点到最高点的过程中，速度越来越小，反之，则越来越快。

2.2 逻辑推理

与弹簧振子的运动有相似之处，记录摆球位移与时间的关系进行研究，如果符合正弦曲线关系，则是简谐运动。

2.3 实验论证

2.3.1 获取运动图像

（1）器材

支架（高约两米，高度可调）、手机支架、摆线、直径为1 cm的钢质摆球（中间有孔，且孔的一个端口较小）、背景蓝布、高分辨率智能手机一部、装有会声会影和GeoGebra软件的电脑一台。

（2）安装

取1.5 m长摆线，一端从摆球的小孔穿过，在末端打一个结，将线结一端多余的线剪掉，缓慢用力将线结拉入小孔。

以蓝布为背景，安装好支架，调整支架高度和位置，支架距离背景约40 cm。

将摆线的另一端用夹子夹在支架上，调整摆线至合适长度，用夹子夹牢。

固定手机支架，调整手机支架的位置与摆球间距离保持在20 cm左右，手机屏幕、摆球运动所在平面与背景平行，使摆球运动范围在屏幕中央2/3区域内，调整手机高度，让摆球的上沿与手机的相框上沿持平。

（3）录像

启动手机录像功能，将摆球拉起一个小角度（4°左右），注意摆球运动平面、手机屏幕与背景平行，释放摆球，让摆球摆动，录制几个周期。

（4）图像处理

将录制好的视频从手机相册通过软件发送到电脑端，打开会声会影软件，将视频导入，从视频所在的轨道上找到合适的起点，在“工具栏”点开“编辑”，点击“录制/捕获”，点击“快照”，则当前帧照片被保存。每隔两帧，再次打开“录制/捕获”选项，点击“快照”，依次循环操作，直到摆球运动一个周期，也可以更多，捕获的图像按时间顺序保存。

右键点击所保存的图片，选择“文件夹”，将保存的图片全部选中，复制，打开ppt，粘贴到ppt中，所有图片上下左右均对齐。选中最外面的图片，下拉一段距离，再选中所有图片，鼠标左键点击工具栏图片工具格式选项中的“对齐”，点击纵向分布，再点击右端对齐，则图片纵向均匀分布。按此法调整“摆球”至合适位置，全部选中，点击工具栏“组合”选项，再将组合好的图像逆时针旋转90°，如图1所示。图像横向间隔相等，横向可等效为时间轴，纵向摆球的位置则表示摆球离开平衡位置的位移，整个图像可表示摆球位移与时间的关系。最后，将图片另存为jpg格式图片文件。

图1 摆球位移与时间的关系图

2.3.2 图像分析

在电脑上打开GeoGebra软件，在工具栏“编辑”中点击插入图像，选择文件，将保存的图像文件打开到绘图区，选择工具栏中的描点，采用五点法在几个特殊位置的摆球中心位置点C、D、G、E、F点，则在“代数区”自动显示出每个点的坐标。在代数区的底端工具栏输入正弦拟合函数fitsin[C、D、G、E、F]，键入 enter键，软件生成拟合曲线（图2），并在“代数区”显示出曲线的函数。函数的振幅、初相位及竖直方向偏移量与图像大小、位置有关，如实验中获得的函数

图2 数学软件拟合的正弦函数图

2.4 结论

摆球的位置为实验值，从图中可见，实验值与拟合的正弦曲线完美吻合。由于位移x与时间t成正比，因此，摆球的位移与时间为正弦关系，这说明摆球做简谐运动。

对上述函数关系式进行微分可得出摆球速度与时间的关系，同样方法可得出摆球加速度与时间的关系，因此，利用上述方法可以全面研究摆球的运动情况。

3 从受力角度认识单摆做简谐运动的条件

3.1 受力分析

将摆球从平衡位置拉开一个微小距离x，并对摆球进行受力分析（图3），摆球所受的合外力为F=mgsinθ。因此，从回复力的角度证明单摆做简谐运动，难点是寻找物体位移大小x与sinθ的关系。

图3 摆球受力分析图

3.2 正弦值与弧度值的关系

表1中k为正弦值与弧度值的比值，比较发现：随着角度的减小，正弦值趋近弧度值，k趋近1。因此，摆角较小时可近似有：sinθ=θ。

表1 弧度值与正弦值的关系

3.3 弧长与位移的关系

角度变化时，弧长与位移同时变化，在几何画板中可定量研究弧长与位移的关系。如图4所示，取摆长Oa为L，L=12 cm，量出圆心角分别为30°、25°、20°、15°、10°、5°时圆弧 ab 长 s、a 点到 b点的位移x，并计入表2中。比较发现：随着摆角的减小，圆弧的长度趋近位移大小。

表2 弧长与位移的关系

图4 弧长与位移的关系图

在表2中，通过观察可以发现随着角度的减小，弧长与位移越来越接近，当角度小于5°时，二者可以近似相等。

3.4 综合分析

取位移方向为正，合外力方向与位移方向相反，当摆角较小时，根据上述分析近似可得

从受力的角度分析，当摆球的摆角小于5°时，可以把单摆看成简谐运动。

4 单摆的周期公式

4.1 科学推理

从表达式可以得出：周期T只与摆长有关。

4.2 科学论证

实验一质量相同、摆长相同的两个单摆球，让它们从不同高度处同时释放。实验发现：摆球总是同时到达最低点。说明单摆周期和振幅无关。

实验二 摆球质量不同，摆长相同，从同一高度释放。实验发现：摆球同步运动。说明单摆周期和摆球质量无关。

实验三 用摆球质量相同、摆长不同的单摆进行实验，发现摆长短的振动快。说明周期和摆长相关。

实验四定量研究周期和摆长的关系。选取摆球质量相同，控制摆长进行多组实验。

要求：（1）从最低点计时，误差小。（2）从 0 开始计数，计数为1时为半个周期，计数为40时为20个周期，计数次数多可以减小相对误差。

将测量值输入Excel表格中，并算出其余几组值，如表3所示。

表3 周期与摆长的关系

插入 T-l1/2、T-l、T-l2、T2-l四幅图像（图 5）。

图5 周期与摆长的函数关系

4.3 结论

观察发现T∝l1/2成正比。通过T2-l图线的斜率可计算得出重力加速度为9.85 m/s2，与当地的重力加速度9.81 m/s2相比，在误差范围内相等，单摆的周期公式成立。

5 小结

综上所述，新课程背景下教师只有转变观念，建立教学新程序，引领学生从能量、运动与相互作用等角度对物理情境展开分析，才能发展学生的科学思维，促进学生科学探究能力和核心素养的提升。