孙建新

(绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000)

0 引言

文献[1]和[2]，分别讨论了齐次差分方程与非齐次差分方程的解法，并指出使用阶乘幂可带来方便.本文将列举差分方程的最常见的十种解法.

1 主要结果

所谓差分方程，就是“含有未知离散函数的至少一阶差分的等式”.因为差分算子可以等价地用位移算子代替，且离散函数也可以按习惯等价地用带下标的数列表示，所以差分方程的表达形式大致有四种：

(1)Pk(Δ)f(n)=g(n),k∈Z+;

(2)Pk(E)f(n)=h(n),k∈Z+；

(3)Pk(Δ)fn=gn,k∈Z+;

(4)Pk(E)fn=hn,k∈Z+.

差分方程的解法有的是与微分方程的解法是平行的，例如微分方程有直接积分法，那么差分方程就有直接和分法；微分方程有分部积分法，那么差分方程就有分部和分法；微分方程有变量代换法，差分方程也有变量代换法；其它如分拆法、级数展开法，以及线性方程的特征根法，无论是微分方程还是差分方程都适用.

差分方程的解法有的是与微分方程的解法不同的，例如微分方程相当于步长为0，但是差分方程的步长不是0，但是可以变动步长；又如差分方程可以使用递推法求解，而微分方程却不行；特别地，差分方程的假借法是一种仅仅适用于离散函数的特殊解法，它也不适用于微分方程的求解.

2 求解方法

下面将一般差分方程常见的十种求解方法介绍于下：

2.1 和分法

若函数的差分为“和分表”上的函数或“拟初等函数”，则可以直接和分求出原函数.

例 1 求差分方程Δxn=n!3的解.

例 2 求差分方程Δxn=1/n!3的解.

例 3 求差分方程Δxn=3n的解.

=ln(n)+c.

例 5 求差分方程Δxn=sin!(n)的解.

解……