李一然，田立军，吴 勇，王志强

（1.山东大学电气工程学院，济南 250061；2.和远智能科技股份有限公司，济南 250101）

随着电力系统中非线性负荷的增加，尤其是电力电子装置的广泛应用，向电网注入大量谐波和间谐波成分，导致电网电能质量严重恶化。因此，精确检测出谐波和间谐波分量，对谐波治理和维护电力系统的安全经济运行具有重要意义。

目前，应用较为广泛的电力谐波和间谐波检测算法包括快速傅里叶变换FFT（fast Fourier transform）[1]、小波分析法[2-3]、Prony算法[4-5]和神经网络算法[6-7]等。其中，FFT算法因其处理速度快和易于系统实现而成为谐波和间谐波检测最常用的算法，但在非同步采样或非整数周期截断时，容易产生频谱泄漏和栅栏效应，进而影响谐波和间谐波的分析结果。小波变换的检测算法具有良好的时频特性，然而在谐波分解时易存在频带混叠现象。Prony算法频率分辨率高，在无噪声或小噪声情况下可以准确估计谐波和间谐波分量特征指标，但此方法对噪声信号非常敏感。神经网络算法对电力谐波的检测精度高，但需要大量的训练样本和已知精确的基波频率。目前，多采用加窗插值FFT算法来提高谐波和间谐波的分析精度[8]，合适的窗函数能有效抑制频谱泄漏，插值算法可以在一定程度上减小栅栏效应造成的误差。文献[9-10]通过选择和优化窗函数与插值公式来提高电力谐波检测精度。文献[11]利用基于遗传算法的窗函数参数优化方法，获得6项5阶组合余弦优化窗函数，具有优良的旁瓣特性，可以有效减小频谱泄漏，但随着窗函数阶数的增高，主瓣宽度也会变宽，相应的频率分辨率的损失也会增大，为保证同样的频率分辨率，又需要更长的时窗。文献[12-15]结合不同的窗函数对FFT谱峰值频点附近的单根或多根谱线进行插值修正，谐波和间谐波的检测精度随谱线的增多而有效提高，但谱线增多后算法复杂程度也会增加，而且当频谱泄漏严重或频率分辨率较低时，相邻谐波成分相互干扰，谐波附近间谐波分量容易被淹没和产生频谱混叠现象，从而导致检测精度降低，尤其是相位误差较大。

因此，在传统加窗FFT的基础上，文献[16]提出了全相位快速傅里叶变换apFFT（all-phase fast Fourier transform）频谱分析法，该方法和传统FFT相比具有优良的频谱泄露抑制能力和相位不变性特点[17]。之后出现的apFFT相位差频谱校正法[18]是把apFFT和传统FFT各自相位频谱分析的结果引入相位差频谱校正，文献[19-20]通过采用性能优良的高阶窗函数对上述apFFT相位差法进行改进，使apFFT相位差法对谐波检测精度有所提高，但其需要进行两次快速傅里叶变换，运算量很大。文献[21-22]所提出的谐波检测算法名称虽然不同，但原理都是基于传统FFT比值法改进的apFFT比值法进行频谱校正，该方法推导的修正公式简单，易于实现。但是在校正幅值时只利用了实际频点附近的最强谱线进行插值校正，而没有利用次强谱线的信息，当采样点数不满足足够大条件时，无法保证检测结果的精确性。

基于apFFT良好的性能，本文提出了一种双窗apFFT双谱线插值的电力谐波和间谐波分析方法。利用apFFT谱距峰值频点最近的左右两根谱线插值校正，并结合多项式逼近方法推导出频率和幅值的修正公式，以提高谐波和间谐波的检测精度。通过仿真算例对比验证了该算法在密集频谱分析、复杂谐波和间谐波检测以及白噪声影响下的准确性与有效性。

1 经典余弦窗函数及其特性

在非同步采样或非整周期截断时，通过采用性能优良的窗函数对信号进行加窗处理，能够有效抑制FFT过程中的频谱泄露，其中经典余弦窗的使用较为广泛。经典余弦窗函数[23]为

经典余弦窗的频谱函数为

将ω=2πk/N代入式（2）可得

常用的经典余弦窗的旁瓣特性如表1所示。在选择窗函数时，主瓣宽度、旁瓣峰值和旁瓣衰减速率影响了窗函数的性能。一般要求窗函数的主瓣宽度尽可能窄，以提高系统的频率分辨率，同时还要求旁瓣峰值电平小且渐进衰减速率快，使能量集中在主瓣并较好地抑制频谱泄漏。然而由表1可知，主瓣和旁瓣的优劣不可兼得。因此通常需要综合考虑性能指标，选择合适的窗函数[23]。

表1 经典余弦窗的旁瓣特性Tab.1 Sidelobe characteristics of classical cosine windows

2 apFFT频谱分析原理简述

apFFT频谱的分析流程如图1所示。首先，用长为(2N-1)的卷积窗wc对中心样点x(0)前后的(2N-1)个数据进行加权；然后，将间隔为N的数据两两叠加形成N个数据；最后，对这N个数据进行FFT分析，可得apFFT频谱的分析结果[17]。

图1 apFFT频谱分析流程Fig.1 Flow chart of apFFT spectrum analysis

图1中卷积窗wc为长度为N的前窗w1和翻转的后窗w2的卷积，即

若w1=w2≠RN（RN为矩形窗），则称为双窗全相位频谱分析。当前窗w1和后窗w2相同且皆为对称窗w时，由时域卷积定理可得卷积窗函数wc(n)的离散傅里叶变换DFT（discrete Fourier transform）Wc(ejω)为

式中：W1(ejω)、W2(ejω)分别为前窗w1和后窗w2的DFT。

3 加窗信号离散频谱性能分析

3.1 传统加窗FFT频谱分析

假设1个频率为f0、幅值为A、初相位为φ0的单一正弦频率信号，经过采样频率为fs的模数变换，得到离散时间信号为

式中，n=0,1,2,…,N-1。用长度为N的窗函数{w(n)}对连续信号x(t)的离散序列{x(nTs)}加窗截断得到一组新序列xw(n)，即

式中：x(nTs)为x(t)的无限长采样序列；Ts为采样周期，Ts=1fs。

根据傅里叶变换，加窗截断后采样序列对应的频谱Xw(ejω)为

式中：X(ejω)为原始采样序列对应的频谱；ω0=2πf0fs。

此时，忽略负频点-f0处频峰的旁瓣影响，在ω=2πk N上离散采样，并对其进行归一化处理，可得正频点f0附近的DFT的表达式为

式中：Δf为离散频率间隔，Δf=fsN；k0为峰值频点f0对应的谱线号。

3.2 双窗apFFT频谱分析

若图1中输入信号为上述正弦信号x(n)，apFFT下将采样区间扩展为(n=-N+1,…,0,1,2,…,N-1)。根据文献[16-17]的推导，并结合apFFT原理和卷积窗的对称性，加权两两叠加后的数据yw(n)可以表示为

根据频域卷积定理和傅里叶变换的时移性质，可得加双窗截断后采样序列对应的频谱为

同上述传统加窗FFT的频谱分析，并结合式（5），在正频点f0附近的离散频谱函数可以表示为

比较式（9）和式（12）可知，在双窗apFFT频谱中，窗旁瓣谱线相对于主谱线按照平方关系衰减，使主谱线更为突出，因此其具有比传统FFT更好的频谱泄露抑制能力。此外，传统FFT谱线上的相位值与其频率偏移值有关，而apFFT主谱线上的相位值不受频偏影响，始终为中心样点x(0)处的理论初相值φ0，称为apFFT的“相位不变性”[24]。

4 双窗apFFT双谱线校正算法

4.1 apFFT双谱线插值算法原理

在对上述正弦信号进行分析时，由于非整周期采样容易导致栅栏效应，使得实际apFFT谱峰频点f0=k0Δf一般不处于离散频点处，即k0一般不是整数。设峰值频点左右两侧的谱线分别为k1和k2，则k1＜k0＜k2=k1+1。此时引入辅助参数α=k0-k1-0.5，则α的取值范围为α∈(-0.5,0.5)。假设这两条谱线的幅值分别为y1= |Yw(k1Δf)| 和y2= |Yw(k2Δf)| ，即为峰值频点附近幅值最大和次最大谱线。

当N较大时，式（13）可简记为β=t(α)，则其反函数为α=t-1(β)。在Matlab中利用ployfit函数对α=t-1(β)进行多项式逼近，可求取α的拟合多项式，进而可得谐波和间谐波频率的修正公式为

为提高谐波和间谐波的检测精度，采用双谱线插值算法选择apFFT谱紧邻峰值谱线频点的左右两根离散谱线修正幅值，此时对k1和k2两条谱线加权平均并代入式（12），得到幅值的修正公式为

当N较大时，同样采用上述拟合函数多项式逼近法，式（15）可进一步简化为

由于apFFT具有相位不变性，可以直接取apFFT主谱线相位值作为信号的初相位φ0，无需修正便可得到较精确的测量结果。

本文算法的流程如图2所示。

图2 算法流程Fig.2 Flow chart of algorithm

4.2 常用窗函数的插值修正公式

当选用一些典型余弦窗函数时，由多项式逼近和双窗apFFT双谱线插值算法推导出典型窗函数下频率和幅值的修正公式。

1）Hanning窗

2）Hamming窗

3）Blackman窗

4）Blackman-Harris窗

5）4项3阶Nuttall窗

5 仿真分析

5.1 含密集频谱成分信号仿真分析

由于密集频谱中相邻谐波及间谐波成分相互干扰，容易产生频谱混叠现象。为了检验本文提出的双窗apFFT双谱线插值修正算法对密集频谱的检测精度，尤其考虑到谐波和间谐波频率邻近的情形，选择采样频率fs=1kHz，采样点数N=1 024。在本文算法中对仿真信号加汉宁双窗，采用式（18）～（19）频率和幅值的逼近公式，同时与汉宁窗双谱线FFT插值算法[13]进行比较。当输入信号的谐波频率为150 Hz且间谐波频率分别为142 Hz、145 Hz和153 Hz时，对密集频谱的检测结果如表2所示。

表2 密集频谱检测结果Tab.2 Detection result of dense spectrum

以上仿真结果表明，在频率密集场合，传统FFT双谱线插值法对邻近谐波的间谐波的频率、幅值的检测误差大，而且无法实现相位校正；而本文提出的双窗apFFT双谱线插值算法有较强的频谱泄漏抑制能力，其谱间干扰程度低于传统FFT谱，且对谐波附近幅值较小的间谐波信号有相对较高的检测精度，满足国家间谐波测量误差要求。

5.2 复杂谐波和间谐波信号仿真分析

为了与传统FFT双谱线插值法、apFFT相位差法及apFFT比值法相比较，采用文献[25]所给出的谐波和间谐波信号模型，即

这里选取采样频率fs=3kHz，实际基波频率为50.1 Hz，采样点数N=1 024，属于非同步采样。其中，各次谐波、间谐波的幅值Am和相位φm如表3所示。

表3 仿真信号参数Tab.3 Parameters of simulation signal

基于Matlab平台，依次采用文献[13]中的汉宁窗双峰谱线FFT插值算法、文献[18]中的汉宁窗双窗apFFT相位差频谱校正法、文献[21-22]中的汉宁窗双窗apFFT比值频谱校正法和双窗apFFT双谱线插值校正方法进行仿真对比。其中，考虑到汉宁窗在检测时间和检测精度上良好的综合性能，更为保证仿真中与其他算法的窗函数相同，本文对仿真信号加汉宁双窗。仿真得到的谐波和间谐波的幅值、频率和相位的相对误差如表4～表6所示。

表4 幅值相对误差比较Tab.4 Comparison of relative errors in calculated amplitude %

表5 频率相对误差比较Tab.5 Comparison of relative errors in calculated frequency %

表6 相位相对误差比较Tab.6 Comparison of relative errors in calculated phase%

由以上仿真对比结果可以看出，本文采用的算法在检测复杂谐波和间谐波时，对谐波幅值、频率和相位检测的相对误差的数量级基本保持在10-5%～10-6%、10-7%～10-8%和10-7%～10-9%之间；对间谐波幅值、频率和相位检测的相对误差的数量级基本保持在10-3%～10-5%、10-5%～10-7%和10-4%～10-6%之间。本文综合了双谱线插值与apFFT算法的优点，在对幅值和频率的检测精度上相比其他3种算法平均提高了1～3个数量级，对初相位的检测精度远高于传统FFT双谱线插值法。故本文提出的双窗apFFT双谱线插值算法具有较好的综合性能，能够明显提高复杂谐波和间谐波的参数检测精度。

5.3 含白噪声信号仿真分析

在实际电力系统中，谐波和间谐波信号很容易受到高斯白噪声的干扰，尤其会影响到基波分量参数的分析精度。为检验双窗apFFT双谱线插值算法的抗噪声能力，选择信噪比SNR（signal-noise ratio）大小为20～100dB的白噪声信号，以10dB为步长，依次叠加到上述仿真信号模型中，从而得到白噪声影响下基波参数的相对误差如图3和图4所示。

图3 白噪声影响下基波幅值相对误差Fig.3 Relative errors of fundamental amplitude under white noise

图4 白噪声影响下基波相位相对误差Fig.4 Relative errors of fundamental phase under white noise

由图3和图4可以看出，各种算法的检测精度随着不同强度的白噪声的干扰而相应改变。当噪声强度较大（SNR＜40 dB）时，双窗apFFT双谱线插值修正算法对基波幅值和相位的检测精度有所降低，但相对误差都分别保持在0.001%和0.003%之内，仍然可以满足相应检测精度标准要求。随着SNR的增加，以上4种算法对信号参数的检测误差都在不同程度上减小。当噪声强度较小（SNR＞60 dB）时，采用双窗apFFT双谱线插值算法的抗噪声干扰能力最强。此时基波幅值的相对误差小于1.45×10-5%，相位的相对误差小于8.44×10-5%，检测误差较小且保持在稳定状态。故本文提出的双窗apFFT双谱线插值算法能够有效降低高斯白噪声对幅值和相位检测的影响，且在抗白噪声干扰方面较其他算法具有一定的优势。

6 结语

针对目前常用的加窗插值FFT谐波和间谐波检测算法存在的不足，本文提出了一种双窗apFFT双谱线插值算法。该算法对采样信号进行加双窗apFFT变换后利用峰值频点附近的左右两根谱线进行频率和幅值的插值修正，并利用多项式拟合简化计算过程和推导出常用窗函数下的实用修正公式。通过仿真对比分析，该方法在密集频谱分析、复杂谐波和间谐波的高精度检测及克服白噪声污染等方面具有较高的应用价值，可为以后的电力谐波的治理和补偿提供可靠的信息。