曹襄雅 陈兰花 李泽疆 杨钰含

摘  要：统计学与高等数学是目前高校数学教学的两项重要组成部分，高等数学中存在着多种思维方式，运用到统计学教学中都是十分适合的。本文通过分析高等数学中的几种常用思维，进一步分析了统计学教学中高等数学思维的具体应用。

关键词：统计学;思维方式;高等数学

引言：统计学是数学领域的重要分支，在实际学习的过程中，需注意思维的合理运用，基于此，本文就统计学中运用几种高等数学思维的路径进行了简要分析，希望可以对实际教学有所帮助。

一、统计学学科教学现状

统计学是一门具有繁杂性特点的学科，因而在教学方面具有着较高难度，尤其是目前面临着部分学生数学基础差、数学逻辑思维缺乏的情况，致使统计学教学开展更加不易，学生对统计学知识的理解难以透彻。统计学教师也认识到当下教学存在的问题，因此着重于培养学生的高等数学思维以及分析能力，将数学思维作为统计学教学的基础思想，进而提升学生的解题能力，为此，还需要引导学生将高等数学思维方式合理运用到统计学知识学习中[1]。

二、统计学教学与高等数学之间的联系

在许多高校当中，统计学与高等数学都是理科专业学生的必修内容，两者都属于数学体系，缺少了任意一门课程的学习都不能够系统化学习高校数学，因此，统计学与高等数学之间具有着紧密关系，站在统计学教学的角度来说，也离不开对高等数学内容的运用。从本质上来分析，统计学与高等数学都包含着大量的数学知识，其知识的特点是具有逻辑性和抽象性，其中高等数学课程属于高校的一门公共基础课，许多理科课程都可能用到高等数学中的基础数学知识，统计学课程也不例外。统计学与高等数学在教学的过程中，都需以问题为出发点，通过深入分析问题、全方位思考问题，最后落到解决问题上，同时，两者都是对数据进行研究，且数据都具有变化的特点。例如，在统计学当中，可能性分析和随机情况的研究都具有变化性，而高等数学中的函数研究与线性变量同样具有可变性，在学习高等数学和统计学时，学生也都是基于已知条件和分析、观察获得的内容，再经过精细地推断、计算以及验证检查，最终得出结果，这种结果可能是一种数学现象或规律，借助于该结果也可以解决相应问题。需要注意的是，高等数学在计算方面比统计学更为复杂化，且计算量也更大，而学生往往是在学习了高等数学的基础上再学习统计学，这样也会更为得心应手，高等数学中的许多思维也被有效运用到统计学教学当中[2]。

三、高等数学中的几种常见思维方式

（一）数形结合思维方式

数形结合在数学领域中是一种常见思维方式，也是高等数学中的重要思想，简单来说数形结合就是数字和图形进行有机结合，数与形本身是可以在一定条件下相互转换的，两者都是高等数学中的重要研究对象，通过有机结合，可以将原本相对独立的线性代数学习与几何图形学习关联起来。从数形结合思想的实际运用来看，大多可分为两种情况，其一是借助于代数的精确特点来进一步详细阐述几何图形的一些属性，其二可以运用几何图形的直观特点来详细阐明代数之间的内在联系，即将数形结合思想分为两种，分别为“以形助数”和“以数解形”，例如，在以数解形应用当中，若是某类几何图形过于简单，无法通过观看图形详细描述属性，也难以观察出什么数学规律，而这时就可以利用代数为几何图形赋值，比如增加图形某个角度数值，或是增加边长数值。代数与几何反映着事物的两方面特点，但也具有一一对应关系，在数形结合的思维下，直观的几何图形与抽象的数字语言结合反映出来，这也是一种形象思维和抽象思维的融合，可以进一步简化原本复杂的概念，从而达到解决数学问题的目的。数形结合思维中水平较高的方式还有数学家笛卡尔提出的坐标系概念，坐标系中可以构建相应几何图形，也具有着对应数字，两者结合紧密，更加开拓学生思维，降低学习难度，像是高等数学中的二重积分问题解决，若是运用数形结合思维，就可简单将曲边梯形面积进行数字转化。

（二）因果关系思维方式

在高等数学当中，因果关系思维也是十分常见的，“因”与“果”之间的关系紧密，正所谓“有因必有果、有果必有因”，通俗来说，就是只有详细了解的事物原因，才能够依据化推导出事物结果，而若是事物具有某种结果，那么也一定存在某种原因。例如，在高等数学当中，因果思维存在于函数的各项条件，包括必要条件、充分条件以及充分不必要条件等等，而已知条件事实上就是某种“因”，分析这些条件之间的联系就可以推导出一些概念性结论。除此之外，在因果关系思维不断深入研究后，还衍生研究出一种新的思维，即反证思维，也就是上述提到的“有果必有因”，通过实际存在的结果反向推导出内因，在反证的过程中，要先假设结果是成立的，进而推导原因，若是无法推导出来，那么结果就是错误的[3]。

（三）类比思维方式

在数学领域当中，存在着各种各样的要素，而这些要素之间却始终存在着某种联系，这种联系可能是千丝万缕中存在，但正因如此，要素之间也会存在相似性，类比思维就是在要素相似性特点基础上产生的，即对各项数学要素进行类比。在类比思维当中，进行类比的对象可以是内部属性相似的两个或是多个要素，通过一些相似点的类比，可以推导出其他内容相似的规律，比如说学习高等数学中的多元函数积分学与微分学时，就可通过函数之间的相似性来类比分析多元函数与之前学习过的一元函数微积分理论、概念等等，从而总结出不同函数之间的规律。再如将定积分概念、方法与不定积分进行类比分析，两者都是积分学，其基础上有著共同点，通过深入分析类比之后也能够得出异同点，从而运用于相应的数学难题当中。此外，在解析平面和空间几何的过程中，也可利用类比思维方式，像是通过平面图形圆的方程式（x-a）2+（y-b）2=R2类比后，可以得到空间球面的相应方程式（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=R2。类比思维方式的实践运用，优点就在于可以将新内容与已经学习的知识内容进行类比，使新的知识更容易理解和接收，也能够提升创造力。

（四）条件转化思维

条件转化是高等数学中的一种化简为繁思维，针对于复杂的条件和问题进行简化处理，这样可以有效解决一些难题。在数学解题的过程中，有时往往已知条件中没有解题所需要的，那么就需要将已知条件转化为可以利用的条件，进而实现解题的目的。例如，在进行极限运算求解过程中，一般会结合积分法或是换元法俩解决问题，而为了尽可能降低解题难度，就会运用到条件转化思维，将其中复杂的数学内容转化为更容易理解的内容，或是将不熟悉的内容分解为熟悉的数学内容，变不利条件为有利条件，这也是高等数学条件转化思维的内涵。

（五）极限思维方式

高等数学中的极限思维方式一般是用于求函数极限方面，其是利用极限概念解决问题的重要思想，极限思维也被运用在微分几何、积分方程以及微分方程等数学领域。例如，函数问题中极限思维方式的运用，通常是先预设出与要求数量相关联的变量数值，然后在导函数当中重复代入进数量值开展验算，最后会获得较为极限的数学结果，这一结果与真实情况十分贴近，运用极限思维的计算还可以研究函数的连续性问题，具有着较高的数学价值。极限思维方式一致贯彻于整个数学体系当中，其可以有效简化处理难题，对于教学工作有着重要意义。

四、统计学教学过程中高等数学思维方式的有效应用

结合所分析的统计学教学与高等数学之间的联系，可以将高等数学思维方式运用与统计学的教学过程中，通过教学提升学生的思维水平，也可以简化学生解决统计学问题的难度，具有着一定的现实意义，具体的应用形式包含以下几种。

（一）因果关系思维在推断统计中的应用

统计学是一门复杂的学科，涉及到许多专业内容，而其中有一种十分常用的统计方法叫作推断统计。推断统计的原理为收集需要的样本数据信息，再经过深入分析和研究，最后推断出某种结果或是特性。由这种原理可以看出，推断统计与高等数学思维方式中的因果关系思维有着通性，都是对已知数据或是条件进行分析与判断，进而推导出某种结果。例如，统计学利用因果关系思维实现因果推断统计，具体可运用于潜在结果模型、观察性研究与可忽略性研究、未观测的混杂因素等几个方面。此外，在统计学当中，与数学一样存在变量这一要素概念，因而也可以将统计学变量定义与高等数学变量定义进行类比，分析两项学科的相同点和异同点，这也有利于开展统计学教学，提升学生对统计学概念的理解水平。

（二）统计学中的转化思想应用

在统计学当中，转化思想是十分常见的，其意义在于将复杂问题转换为简单问题，这也与高等数学中的条件转化思维方式一脉相承，其是站在方法论角度，将条件转化思维延伸利用。例如，贯穿于统计学的转化思想之一为一般与特殊之间的转化，进而利用抽样的信息推导出总体的数量特征，比方说分析线性回归问题时，通过已知样本资料来进一步构建回归模型，从而呈现出两项变量之间相互依存的关系，最后进行估算与预测即可，这属于转化思维中特殊到一般的转化。还有一种是映射转换，是一种将问题化繁为简的方法，需构建适当的映射，是一种重要的转化方法，在目前的统计学当中具有着较高应用价值。例如，映射转换可以将一般正态分布转换为标准正态分布，还可以在估计区间以及检验假设问题中运用，对于非线性回归模型，在映射转换方法下也可以转换为线性回归模型，除此之外，映射转换思维方法也运用于构造各种统计量。

（三）数形结合思维在统计学中的运用

根据数形结合思维方法原理可知，其能够让代数借助于几何图形来直观呈现，对于统计学教学而言，这种方式的运用可以更加方便学生对统计的结果进行理解，从而解决统计问题。例如，在统计学教学当中，概率学内容是较为重要的学习部分，其中概率学中具有排列组合的概念，排列组合简单来说是将数据按照一定规律来排列或组合，生成一组新的数据，且排列和组合的不同也能获得不同结果，在以往的统计学教学当中，有关排列组合内容，教师也只是简单陈述几种排列情况以及对应的生成结果，而若是实际排列情况比较复杂，且生成的排列组合结果较多时，教师在讲解中就会比较困难，像是出现表述不清晰情况，学生的理解效果也不佳，为此，统计学教师就可以运用数形结合思维方式，将排列组合问题中的所有情况与结果利用树状图来呈现出来，树状图既可以直观地呈现出结果，也可以呈现出排列方式与结果之间的联系，使得整体问题生动化且一目了然，方便学生理解并学习排列组合概念，避免出现逻辑混乱或记忆重复的情况。再比如，统计学问题中也有求数据平均数与众数的相关问题，同时在这些数据的基础上，还会做出相应统计，而在以往的统计学当中，若是数据量较为庞大时就会较为困难，降低实际统计计算的效率，若是采用傳统教学方式，让学生就数据一个个计算，那么很容易产生厌烦心理，基于此，可以采用数形结合方法，将所有数据绘制成柱形图或是曲线图，进而解算出这些数据的平均数和众数，以绘制数据柱形图方法为例，柱形图可以清晰呈现出一组数据中的最高数，这就是该组数据的众数，省去了计算分析环节。通过数形结合思维方式的有效运用，学生在统计学学习中进一步简化了计算过程，提升了学习成效，这也体现出高等数学中数形结合思维的重要教学价值[4]。

结论：综上所述，在统计学教学中运用高等数学的各项思维方式，不仅可以降低教学难度，也有助于学生逻辑思维能力、分析能力以及解决问题能力的培养，促使其全面发展。由本文分析可知，高等数学思维在统计学教学中的应用形式主要包括数形结合思维运用、类别思维运用、条件转化思维应用以及因果思维应用等。

参考文献：

[1]曹钻.试论统计学在高等数学教学中的应用[J].知识文库，2020（02）：87-88.

[2]陆春，黄水群.类比教学法在《医学统计学》教学过程中的研究与实践[J].教育教学论坛，2019（26）：169-170.

[3]郭倩茹，赵秋兰.高等数学的思维方式在统计学教学中的应用[J].陕西广播电视大学学报，2019，18（04）：44-46.

[4]爱萍.试论统计学在高等数学教学过程中的应用[J].经贸实践，2019（06）：154-155.