魏思凡,王之梁,赵志兵

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

0 引 言

Operad理论最早出现于20世纪60年代Boardman-Vogt[1]和May[2]关于代数拓扑学的著作中。此后，Operad理论被广泛地用于代数学，组合学，几何学和拓扑学等多个领域[3-4]。文中引入了2-酉Operad的定义，尤其是结合代数Operad-Ass，并给出这类Operad的基定理，便于通过截面理想研究其增长性质。

PI代数是非交换领域中重要的代数类，它与多项式代数有着许多类似的同调性质。注意到PI-代数类与结合代数Operad Ass的非零理想一一对应，即结合代数A是PI-代数等价于A是Ass/I上的代数，其中I为Ass的某个非零理想[5-7]，而Ass的理想又等价于T-理想[8-9]。因此，结合代数Operad理想结构，尤其是理想的生成元的研究，对于PI-代数的研究有着重要意义。另一方面，Bao等在文献[10]中证明了结合代数Operad的任一理想都位于两个截面理想之间，因此截面理想的结构对于Ass的理想研究也有着十分重要的价值。本文主要通过引入Ass的一些线性算子，利用基定理和数学归纳法证明第k个截面理想kΥ可由kΥ(k+2) 或kΥ(k+1)Uk+1Υ(k+2)生成。

1 预备知识

首先回顾一些基本定义。设K是特征为零的域。

定义1[11]设P={P(n)}n≥0是N-分次K-向量空间，1∈P(1) ，且对整数 k1，…，kn≥0,有P上的复合映射

∘:P(n)×P(k1)×…×P(kn)→P(k1+…+kn)

(θ,θ1,…，θn)θ∘(θ1,…，θn)

满足下面两条公理：

(1) 对任意θ∈P(n), 有θ∘(1,1,…,1)=θ=1∘θ，

(2) 对任意θ∈P(n),θi∈P(ki),θij∈P(lij),n>0,ki≥0,lij≥0,j=1,…,kj,i=1,…,n，有

θ∘(θ1∘(θ1,1,…,θ1,k1),…,θn∘(θn,1,…,θn,kn))=

θ∘(θ1,…,θn)∘(θ1,1,…,θ1,k1,…,θn,1,…,θn,kn)

若ki=0，则约定θi∘()=θi。则称P为非对称Operad。

为叙述方便起见，我们将n阶置换σ∈Sn记为σ=(i1,i2,…,in)，其中ik=σ-1(k)，k≥1。

例1 设Ass(n)=KSn是以n阶对称群Sn中的元素为基生成的自由向量空间，n=0,1,…。 则Ass={Ass(n)}n≥0构成非对称Operad，其复合映射定义如下：

∘:Sn×Sk1×…×Skn→Sk1+…+kn

(σ,σ1,…,σn)σ∘(σ1,…,σn)

其中：σ∈Sn，σi∈Ski，1≤i≤n。σ∘(σ1,…,σn)的运算规则如下：

记S为所有n阶对称群{Sn}n≥0的不交并。称

M={M(0),M(1),…,M(n),…}

为右KS-模，其中每个M(n)为右KSn-模，n≥0。

定义2[11-12]设P是非对称Operad，若P={P(n)}n≥0是K……