王 蒙，陶俊琦，程剑剑，郑 华

(陕西师范大学 物理学与信息技术学院，陕西 西安 710119)

本文旨在基于大学数学基础对常用的高斯及类高斯型积分做系统的阐述，给出相应的求解方法和通用积分结果. 以期助力学生学习与教职人员教授相关内容.

1 高斯与类高斯型积分

本节中，我们将对不同的高斯与类高斯型积分进行计算与讨论，遵循由简到难、由特殊到一般的逻辑.

1.1 高斯型积分I=e-αx2dx,(α>0,α∈R)

在高斯与类高斯型积分中，非常重要的一个积分是

(1)

考虑α为实数的情况.为保证式(1)积分收敛，要求α>0. 式(1)无法利用牛顿莱布尼兹公式求出原函数对积分进行计算. 但可以通过构造的方法，建立式(1)与二维积分的联系，然后利用常用积分就可以计算了. 具体过程如下

(2)

对式(2)中r的积分进行变量代换，容易看出是一个指数函数积分. 因此

(3)

此积分过程中体现了一个重要的思想，在当前维度下如果解决不了问题时，可以发散性的将问题向高维转化.某些特殊函数的生成函数，也应用了这一思想，在此我们不做详细论述[7].

下面讨论3个常用的高斯型积分.

(a) 当α=1时，由式(3)可得

(4)

(b) 将式(3)的积分限变成0到正无穷，由式(3)的积分函数是偶函数可得

(5)

(c) 将式(3)的积分限变成0到正无穷且α=1

(6)

1.2 Γ函数与高斯型积分

Γ函数与高斯型积分具有直接的联系[8-10].在实变函数中，Γ函数的通常定义如下

(7)

Γ函数具有如下性质

Γ(x+1)=xΓ(x)

(8)

将Γ函数式(7)的积分变量t作积分变量代换，令t=u2.可得

(9)

为便于文章后面的讨论，将式(9)改写为

(10)

可见，当x=0时，式(10)右边为……