毛卫红 张正娣 张苏珍

(江苏大学数学科学学院,江苏镇江 212013)

引言

多时间尺度问题[1-2]作为非线性科学的重要组成部分广泛存在于物理学、化学、生物学等领域中.例如在生物细胞的遗传中,由较快的新陈代谢过程与相对较慢的遗传变化过程的结合导致的快慢耦合[3];在催化反应中,不同量级反应速率之间的催化与自催化过程[4];在神经动力学中,静息态和激发态交替出现的簇放电模式[5]等.相比于单一时间尺度的系统,多时间尺度耦合系统会表现出更为特殊的动力学行为,例如周期振荡中通常表现出的大幅振荡和微幅振荡的复合振荡[6-7].大幅振荡和微幅振荡可以分别看作快慢系统的激发态(spiking state)和沉寂态(quiescent state).这种连接快慢两个过程的行为也称为簇发(bursting)[8-10],通常是由分岔产生的[11-12],可以得到“点点”型簇发振荡、“点环”型簇发振荡等.这类具有特殊结构的系统往往表现为复杂的动力学行为,例如混沌簇发振荡[13],吸引着国内外学者的关注,尤其是在Izhikevich 等[14-16]引入Rinzel 的快慢分析理论后,对于含多时间尺度的非线性动力系统,许多学者从数值仿真、理论分析、数值实验等方面进行了深入的探索[17-20].

非光滑动力系统具有广泛的工程背景,涉及到科学和工程技术的各个领域.不同于光滑系统的分岔现象,非光滑系统不仅可以产生光滑系统中的各种常规分岔,而且还可能发生一些光滑系统所不具备的特有分岔,统称为非光滑分岔[21].例如,非光滑滑动分岔、擦边……