王荣 成昕鸿 周峰

摘 要：基于FitzHughNagumo神經元模型，构建了电磁辐射环境下突触连接动态变化的自组织神经元网络模型;采用神经动力学理论和复杂网络方法，研究了不同电磁辐射强度下，自组织神经元网络的连接密度、因果关系、模块化程度、网络效率、同步行为以及兴奋性。发现电磁辐射增强了磁场对神经元的负反馈，减弱了神经元之间的竞争，降低了神经元之间的因果关系;但对神经元网络的连接密度、模块化程度和网络效率的影响较复杂;存在最佳辐射强度，使自组织神经元网络的局部效率和全局效率显著升高。同时，电磁辐射增强了自组织神经元网络固有的同步能力，产生更高的神经元同步放电活动。最后，合适的电磁辐射强度可以增强自组织经元网络的兴奋性，而更高的辐射强度降低了神经元网络的兴奋性。结果表明：电磁辐射对自组织神经元网络的形成具有复杂的调控作用，但存在合适的辐射强度，使自组织神经元网络在结构上具有较强的信息传递能力，在动力学上具有较高的同步放电行为。关键词：电磁辐射;同步;自组织网络;复杂网络中图分类号：N 93

文献标志码：A

文章编号：1672-9315（2021）02-0375-09

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2021.0223开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Topological properties and dynamics of selforganized

neuronal networks under electromagnetic radiation

WANG Rong1，CHENG Xinhong1，ZHOU Feng2

（1.College ofSciences，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

2.College of Geomatics，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China）

Abstract：Based on the FitzHughNagumo neuronal model，the neuronal network with dynamically variable synapses under electromagnetic radiation environment was constructed.The neurodynamics theory and complex network method were used to study the connection density，causal relationship，modularity，network efficiencies，synchronization and excitability of selforganized neuronal networks under different electromagnetic radiation strengths.It is pointed that the electromagnetic radiation enhances the negative feedback of magnetic field on neurons，weakens the competition among neurons and reduces the causal relationship between them，but it has complex effects on the connection density，modularity and network efficiencies.Specifically，an optimal strength of electromagnetic radiation produces a higher local efficiency and global efficiency in selforganized neuronal networks.In addition，the electromagnetic radiation improves the intrinsic synchronizability of selforganized neuronal networks which supports higher synchronized firing activities of neurons.Finally，the electromagnetic radiation with suitable strengths can increase the excitability of selforganized neuronal networks，but it has the contrary effect for higher strengths.The results indicate that the electromagnetic radiation has complex modulations on the formation of selforganized neuronal networks，but for the suitable strengths，it can induce selforganized neuronal networks to achieve higher information transferring efficiency in structure and stronger synchronized firing activities in dynamics.Key words：electromagnetic radiation;synchronization;selforganized network;complex network

0 引 言

神经元是神经系统基本的结构与功能单位，其通过突触连接传递神经信息，构成复杂的网络结构 [1-2]。基于突触可塑性，外界神经刺激会重塑突触连接，使神经元网络结构动态改变以满足大脑认知功能的需求[3]。这种局部神经回路与全局动力学之间的反馈耦合构成了大脑演化、学习和记忆的基础[4]。研究表明，动态变化的神经元网络具有自组织结构，在局部回路和全局回路都有较高的信息传递效率[5]。李秀敏等发现与全局连接和随机连接网络相比，自组织神经元网络可以产生更高的相干共振，随机共振以及信息传递效率[6-7]。因此，研究自组织神经元网络的形成，对于理解大脑演化以及学习记忆的形成机理具有重要意义。神经系统受到电磁辐射的影响，并且电磁场刺激在治疗以及研究诸多神经系统紊乱中得到广泛应用，如经颅磁刺激（transcranial magnetic stimulation，TMS）可以在特定脑区产生磁场，从而调节大脑神经活动[8]。AKIYAMA等通过实验发现电磁场可以诱发CA1椎体神经元膜的超极化[9]以及大脑神经组织中产生胞外电场[10]。李佳佳等通过数值模拟发现手机电磁辐射可以诱发神经元由周期性放电转迁到簇放电模式[2]。但是，电磁辐射对神经元放电活动的调节作用尚不完全清楚，尤其是通过将电磁辐射等效成施加在神经元上的刺激电流进行的，没有体现电场-磁场耦合这一物理过程[2]。马军等基于麦克斯维尔电磁感应理论，提出神经元电磁感应理论模型[11-12]。当带电离子跨膜运输，神经元产生动作电位时，离子浓度的波动必然会影响神经元的放电活动，变化的电场又会产生变化的磁场，形成电磁感应。并且忆阻器可以描述神经元膜电位与磁场之间的反馈耦合关系[11]。基于这一理论，大量研究发现，神经元上自发性的电磁感应能显著影响神经元的放电活动[11，13-15]，如诱发多种放电模式[16]，促进相干共振和抑制随机共振等[14]。同时，神经元之间的磁场耦合为神经信息传递提供了一种空间通道[13，17]，进而调控神经元的放电活动[13，18]，如诱发神經元同步[19-20]，触发复杂放电模式之间的转迁[21]，甚至可以抵消离子通道堵塞对神经元集群动力学行为的影响[22]。HU等发现自发性电磁感应可以诱发神经元产生多种混沌动力学行为，并且在Pspice电路实验中验证了这一结果[23]。更重要的是，神经元中自发性电磁感应现象为研究外界电磁辐射对神经系统的影响提供了合理可行的理论模型[24-27]。张晓涵等构建了电磁辐射环境下的小世界神经元网络模型，发现最优化的电磁辐射密度可以诱发随机共振，最大化系统对外界弱信号的响应[25]。马军等发现合适的电磁辐射密度可以诱发神经系统中等程度的同步，而更强的密度可以诱发系统紊乱[24]。GE等发现高-低频电磁辐射可以刺激神经系统产生复杂的放电活动[26]，而WU等表明电磁辐射会诱发神经元在静息态、峰放电和簇放电之间转迁，并且会调控神经元混沌放电参数区域[27]。目前关于电磁辐射对神经系统影响的研究都是假设神经元之间的突触连接是恒定的。然而，由于突触可塑性，神经元之间的突触连接受到全局动力学的影响。因此，构建电磁辐射环境下突触连接动态变化的神经元网络模型，研究电磁辐射对自组织神经元网络的结构与动力学特性的影响，对于理解神经系统的演化以及揭示电磁场刺激治疗神经系统紊乱的机理具有重要意义。

1 动力学模型

1.1 神经元网络模型采用（fitz hugh nagumo，FHN）神经元构建神经元网络模型[28-30]

ε

dVidt=Vi-V3i3-Wi+Iext+Isyni+IMegi

dWidt=Vi+a-biWi

（1）

式中 Vi为第i个神经元的膜电位，mV;Wi为对应的膜恢复变量;ε1，a和bi为无量纲参数，决定了单个神经元的动力学特性。Iext为背景电流;

Isyni为神经元i接收到的总化学突触电流，满足如下方程

Isyni=-∑Nj（i≠j）gijsj（Vi-Vsyn）

dSjdt=α（Vj）（1-sj）-βsj

α（Vj）=α0/（1+e-Vj/Vshp）

（2）

式中 gij为从神经元j到神经元i的突触权重。突触变量sj由突触激活和衰减过程组成，α（Vj）为突触恢复函数;β为突触衰减速率。当前突触神经元的膜电位低于突触激活阈值，即Vj<0 mV，突触无法激活，只能以速率β衰减;此时，sj可以简化为

dsjdt=-βsj。相反，突触可以被快速激活作用于后突触神经元，sj迅速上升到1，即sj=1。突触电流还依赖于突触类型，即兴奋性突触或者抑制性突触，由突触反转电位Vsyn确定。基于已有文献[7]，兴奋性突触反转电位设为Vsyn=0 mV，抑制性突触反转电位设为

Vsyn=2 mV。

1.2 电磁辐射模型神经元中带电离子的跨膜运输不可避免的产生变化的电磁场，其对神经元的放电活动具有显著影响[11，13]。忆阻器描述了磁场与电场之间的物理对应关系[31-32]，可以用来描述神经元上自发性磁场与膜电位之间的耦合关系[11-12，33]。自发性磁场对膜电位的反馈电流为[11-12]

IMegi=-k1ρ（i）Vi

（3）

式中 负号为自发性磁场对膜电位的抑制性影响;k1刻画了反馈强度。ρ（i）为忆阻器的忆导，满足公式ρ（i）=c+3d2i，其中c和d为常数[34]，c=0.1，d=0.02。i为磁场的状态变量，满足如下方程[13，18，21]

didt

=k3Vi-k2i+A

（4）

式中 A为无量纲的外界磁场辐射强度。当A=0时，神经元的放电活动驱动自发性磁场的产生，驱动强度为k3，而磁场在均匀介质中以速率k2衰减。外界磁场又会驱动神经元自身的磁场发生改变，从而调控神经元的放电行为。

1.3 突触可塑性规则当前突触神经元i在ti时刻放电，后突触神经元j在tj时刻放电，依赖峰间隙可塑性规则（spike timing dependent plasticity，STDP）根据突触前后神经元的放电时间差更新突触权重[7，28]，更新过程如下

Δgij=gijF（Δt）

F（Δt）

=

A+exp（-Δt/τ+） if Δt<0

-A-exp（Δt/τ-） if Δt>0

0if Δt=0

（5）

式中 Δt=ti-tj为放电时间差;

τ+和τ-为突触更新的时间窗口;A+和A-决定了突触更新的最大值。放电时间差Δt在更新窗口内进行测量，一旦通过时间窗口，突触权重进行更新。另外，为了保证STDP算法的收敛性，突触权重限制在[0，gmax]。模型的参数选择如下：

ε=0.08，Iext=0.1，

a=0.7，α0=2，β=1，Vshp=0.05，A+=0.05，A-=0052 5，τ+=τ-=2，gmax=0.1，k1=0.1，k2=1和k3=1。

式（1）中的b决定了神经元的兴奋性程度，更小的b值对应更高的神经元兴奋性，这些神经元在突触更新过程中占据主导地位[7]。为了促进神经元之间的竞争，b均匀分布在[0.35，065]。

2 数值模拟结果与讨论数值模拟采用EulerMaruyama算法，时间步长

0.05 ms，总模拟时间200 ms。初始时刻，80个兴奋性神经元和20个抑制性神经元通过化学突触全局耦合，兴奋性突触连接强度为gmax/2，抑制性突触连接强度为3gmax/2[6-7，28]。在自组织演化过程中，兴奋性突触权重由STDP规则更新，抑制性突触权重保持不变[28，35]。同时，为了便于描述，采用P0代替突触权重在[0，0.1gmax]范圍内的突触比例，P1代替权重在[0.9gmax，gmax]范围内的突触比例，P2代替其它突触的比例。

2.1 自组织神经元网络的突触连接特性图1给出了自组织过程中神经元网络结构以及突触权重概率分布。由于神经元的异质性，神经元之间的突触连接受到STDP规则的调节。从高兴奋性神经元到低兴奋性神经元的突触连接得到加强，而从低兴奋性神经元到高兴奋性神经元之间的突触连接减弱[6-7，28]。因此，随着自组织过程的进行，P2逐渐减小，而P0和P1逐渐增加。当模拟时间超过150 ms以后，神经元网络结构达到动态稳定状态[15]。文中所有结果都是基于从150 ms到200 ms的动态神经元网络进行的，采样步长0.05 ms。

图2给出了不同电磁辐射强度下，自组织神经元网络中突触权重比例P0，P1和P2的演化规律。随着辐射强度的增加，弱突触比例P0逐渐降低，在辐射强度超过5后，突然下降;强突触比例P1整体呈下降趋势，但下降幅度较小，在A=4处出现极小值;而P2呈现整体上升趋势。该结果表明电磁辐射诱发突触调整比例下降。这是因为磁场对神经元的负反馈降低了神经元的兴奋性，从而减弱了神经元之间的竞争以及突触权重的调整[15]，而外界电磁辐射进一步降低了神经元的兴奋性，使得突触更新比例下降。

图3为不同电磁辐射强度下自组织神经元网络的平均突触权重。随着辐射强度的增加，平均突触权重整体上升，表明自组织神经元网络连接密度升高;但在A=4处，平均突触权重有极小值，且远小于无电磁辐射时的值。对比图2和图3可知，弱突触比例下降幅度明显高于强突触比例下降幅度，造成平均突触权重的增加。但在A=4处，弱突触比例基本没有降低，而强突触比例却显著降低，导致平均突触权重出现极小值。以上结果表明电磁辐射通过抑制神经元的兴奋性，降低神经元之间的竞争，对突触连接具有复杂的影响。

2.2 自组织神经元网络的拓扑特性自组织神经元网络为有向加权网络，神经信息从前突触神经元传递到后突触神经元，反映了神经元之间的因果关系。电磁辐射调控突触连接，必然会影响神经元之间的因果关系。采用因果流（causal flow，CF）刻画神经元之间的因果关系[36]，其公式如下

CF（i）=kouti-kini

（6）

式中 kouti=∑j∈Ngij神经元i的出度;

kini=∑j∈Ngij

为神经元i的入度;N为神经元的个数。高兴奋性神经元具有更高的出度和更大的正因果流，称为“因果源”;而低兴奋性神经元具有更小的出度和更小的负因果流，称为“因果汇”[15]。图4为神经元的平均因果流随电磁辐射强度的变化，正因果流在因果源神经元中进行平均，负因果流在因果汇神经元中进行平均。随着电磁辐射强度的增加，正负因果流都下降，且在A=4处有一个极小值，表明从低兴奋性神经元到高兴奋性神经元之间的突触连接增强。这是因为电磁辐射降低了神经元的兴奋性，导致自组织神经元网络的异质性降低，因果关系减弱。而负因果流增加是因为低兴奋性神经元接收到了更多的输入。与此同时，在A=4处，强突触连接比例出现极小值（图2），强兴奋性神经元对其它神经元的因果关系减弱，导致负因果流出现极小值。

在自组织演化过程中，具有相似放电特性的神经元会聚集在一起形成模块，模块内的神经元具有更强的突触连接，而模块之间的连接较弱。模块化结构对神经元网络的动力学行为具有重要意义[37]。采用模块化（modularity，Q）刻画网络中模块的密度，其公式如下[38-39]

Q=1l∑i，j∈N

gij-koutikinil

δmi，mj

（7）

式中 l=∑i，j∈Ngij为所有突触连接权重的总和;

δmi，mj

为δ函数;mi为包含神经元i的模块。当神经元i和j在同一模块，

δmi，mj=1，否则，δmi，mj=0。Q越大，表明网络中模块密度越高。图5为不同电磁辐射强度下，自组织神经元网络的模块化程度。随着辐射强度的增加，模块化程度先增加，后减小。在A=4处，自组织神经元网络具有最高的模块化程度。文献[15]发现在自发性电磁场环境下，随着因果关系的减弱，神经元模块化程度降低，与文中强电磁辐射条件下的因果流和模块化变化的关系一致。

神经元网络具有典型的小世界特性，从而保证信息在局部回路和全局网络中的高效传输[5]。采用局部效率（local efficiency，Eloc）刻画信息在局部神经回路的传递效率[38-39]，定义为

Eloc=12N∑i∈N

∑j，h∈N，j≠i（gij+gji）

（kini+kouti）

（gih+ghi）（[djh（i）]-1+[dhj（i）]-1）

（kini+kini-1）-2∑j∈Ngijgji

（8）

式中 djh（i）为从神经元j到h，且经过神经元i的最短路径。全局效率（global efficiency，Eglob）定义为[38-39]

Eglob=1N∑i∈N

∑j∈N，j≠i（dij）-1

N-1

（9）

式中 dij为从神经元i到j的最短路径。图6给出了自组织神经元网络效率随电磁辐射强度的变化趋势。随着辐射强度的增加，局部效率呈整体上升趋势，但在A=4时出现极小值，且显著小于无电磁辐射时的局部效率。而整体效率先下降后上升，同样在A=4处出现极小值，并且只有在A=7时，全局效率才大于无电磁辐射时的值。图6结果表明电磁辐射对自组织神经元网络效率的影响依赖于辐射强度，在A=4时，降低网络的局部效率与全局效率，而在A=7时，增强网络的局部效率与全局效率。对比图3和图6可知，局部效率与平均突触权重变化趋势类似，与文献[15]中的结果一致。这是因为局部神经信息传递效率依赖于局部神经回路中突触连接强度，在A=4处，神经元网络中强突触比例突然下降，而弱突触比例变化很小，从而导致局部效率的下降。之后，弱突触比例突然下降，而强突触比例变化较小，导致局部神经回路的增强，局部效率上升。而对比图5和图6可知，全局效率与模块化的变化趋势相反。这是因为突触连接在模块内部较强，从而维持信息在模块内部的高效传递，而突触连接在模块之间较弱，导致信息在整个网络的传递效率下降;自组织神经元网络模块化程度升高，造成模块之间的信息传递下降，全局效率降低。

2.3 自组织神经元网络的同步特性神经元网络结构的拓扑特性对神经元的同步行为有至关重要的作用，SHESHBOLOUKI等基于网络的特征值，提出2种结构性的测量指标来刻画有向加权网络的同步能力[40]。自组织神经元网络对应的拉普拉斯矩阵为

L=D-G，其中G为突触连接矩阵;D为矩阵G的对角矩阵。拉普拉斯矩阵的特征值为λk=λrk+jλik，k=1，…，N，j=-1并按照实部进行排序0=λr1≤λr2…≤λrN。第1个测量指标为特征值比，定义为实部非零最小特征值与实部最大特征值的比值[40]

Rλ=λrminλrmax

（10）

更大的Rλ表明网络具有更高的同步能力。第2个测量指标为特征值的归一化标准差[62]

σλ=1d2（N-N0）

∑i=Ni=N0|λi-|2

（11）

式中 =

1N-N0∑i=Ni=N0λi，d=1N

∑i∑j≠igij，N0为零特征值的个数。更小的σλ表明网络具有更高的同步能力。图7为自组织神经元网络的同步能力随电磁辐射强度的变化。随着辐射强度的增加，Rλ逐渐上升，表明网络的同步能力逐渐增强。同时，σλ随辐射强度逐渐下降，进一步证明了电磁辐射提高了自组织神经元网络的同步能力。而在A=4处，自组织神经元网络的同步能力出现极大值。对比图2和图7可知，自组织神经元网络中弱突触连接和强突触连接比例的减小，使网络具有较高的同步能力。尤其在A=4处，弱突触连接比例基本不变，而强突触连接比例出现极小值，此时网络的同步能力出现极大值，表明强突触连接显著影响自组织神经元网络的同步能力，与文献[15]中结果类似。对于异质性神经元，且突触为单向连接，强突触或弱突触耦合都不利于神经元的同步，合适的耦合强度才能促进同步，且神经元不能达到完全同步。与此同时，对比图4和图7可知，神经元之间的因果关系与自组织网络的同步能力密切相关，因果关系减弱，伴随着网络同步能力的增强，与文献[15]中结果相符。表明对于异质性神经元，有向突触连接差距越小，越有利于同步。

神经元的同步活动不仅与网络结构有关，还与突触连接以及神经元的动力学行为有关[37]。图8给出了不同电磁辐射强度下，神经元的放电模式，图中黑点代表神经元在某一时刻处于放电状态，即膜电位超过阈值0 mV。在A=4时，神经元的放电规则性明显高于A=0，表明增强的同步放电活动。但在A=5处，神经元的放电规则性下降，伴随着网络同步程度降低。当A=8时，神经元的放电规则性明显高于上面3种情况。该结果表明电磁辐射对自组织神经元网络的同步程度有复杂的影响。为了进一步定量刻画神经元放电同步程度，计算神经元放电时间序列之间的绝对相关系数

Rij=

∑Lt=1（Vi（t）-i）（Vj（t）-j）

∑Lt=1（Vi（t）-i）2∑Lt=1（Vj（t）-j）2

（12）

式中 Vi为第i个神经元的放电时间序列，采样范围从150 ms到200 ms，采樣间隔0.05 ms;L为时间序列长度;t为时间点。网络的平均相关系数

R=1N（N-1）∑Ni=1∑Nj=1，j≠iRij

（13）

刻画了网络的同步程度。R越大，表明神经元网络的同步程度越高。从图9可知，R随电磁辐射强度增加而上升，在A=4时有极大值，表明电磁辐射增强了自组织神经元网络的同步行为，与图8中结果完全相符。对比图7和图9可知，电磁辐射环境下，自组织神经元网络拥有更高的同步能力，并且由于全局同步动力学与局部突触连接的反馈耦合，该网络也能够产生更高的神经元同步放电活动。

从图8可以看出，抑制性神经元的放电程度明显低于兴奋性神经元，这主要是因为抑制性神经元之间的突触连接不受STDP规则的调节，从而导致抑制性神经元之间相互抑制放电。同时，随着电磁辐射强度的增加，兴奋性神经元的放电程度发生明显变化，如A=8时的放电程度明显低于其它3种情况，表明电磁辐射影响神经元网络兴奋性程度。进一步计算神经元的放电概率刻画网络的兴奋性程度[1]

F=1L∑Lt=1f（t）=

1L∑Lt=1

1N|{i|Vi（t）≥0}|

（14）

式中 f（t）刻画了在时刻t，膜电位超过阈值0 mV的神经元比例。更大的F表明放电神经元个数越多，网络兴奋性程度越高。图10分别给出了所有神经元，兴奋性神经元和抑制性神经元的放电概率。从图10可以看出，兴奋性神经元的放电概率显著高于抑制性神经元，与图8结果一致，而且兴奋性神经元的放电概率随电磁辐射强度变化趋势与整个网络的放电概率变化趋势基本一致。这是因为网络的兴奋性程度主要与兴奋性神经元有关，且只有兴奋性突触连接受神经元放电活动的调节，导致电磁辐射主要通过调节兴奋性神经元与兴奋性突触之间的反馈，控制自组织神经元网络的兴奋性程度。同时，在图10中，随着电磁辐射强度增加，神经元的放电概率先增加后减小，在A=4处出现极大值，表明电磁辐射对自组织神经元网络兴奋性程度的复杂调控作用，过大的电磁辐射强度降低了神经元网络的兴奋性，与图4中结果相符，而合适的电磁辐射强度提高了神经元网络的兴奋性。对比图9和图10可知，在A=4处，网络同步和放电概率都出现极大值，而在A=8处，同步因子最大，放电概率最小，表明了2种不同的同步机制。

3 结 论

1）电磁辐射通过增强磁场对神经元的负反馈，抑制神经元的兴奋性，降低神经元之间的竞争以及突觸连接更新比例，从而减弱神经元之间的因果关系。

2）电磁辐射对自组织神经元网络的模块化程度和网络效率的影响依赖于辐射强度;在A=7处，神经元网络具有增强的局部效率与全局效率。3）电磁辐射增强了自组织神经元网络的同步能力，能够诱发更高的神经元同步放电活动。4）由于神经元之间复杂的交互作用，电磁辐射对自组织神经元网络兴奋性影响依赖于辐射强度。合适的辐射强度能够增强神经元网络的兴奋性，而过高的辐射强度降低神经元网络的兴奋性。

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