文 陈超

等腰三角形作为特殊的三角形，有其独有的性质，是三角形知识的重要组成部分。在探讨形的存在性问题时，等腰三角形中蕴含着重要的数学思想方法，即分类讨论思想，这也是中考常考的知识。在具体考查时，选择题、填空题、解答题都有可能涉及。解决这类问题是有通法可循的，特别是在选择题和填空题中。下面就剖析两道中考题，以帮助同学们体会通法的奥妙。

一、在坐标系中的等腰三角形

例1（2019·江苏徐州）函数y=x+1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上。若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个。

【解析】题目中虽然要求△ABC为等腰三角形，但是没有说明哪条边是腰或底，故AB可能是腰也可能是底，所以需要分类讨论。因为一个等腰三角形有两腰一底，且底边与顶角的顶点成一一对应关系，所以以顶角的顶点为标准分类较好。而底角的顶点在以顶角顶点为圆心，腰长为半径的圆上，这样的圆与特殊的线（题中要求的线）的交点即为底角的顶点，这样等腰三角形位置即可确定。

图1

根据题意，画出函数图像，如图1。①当点A为等腰三角形的顶角顶点，即AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径画⊙A，⊙A与x轴的交点即为点C，这时有2个（记为C1、C2）；②当点B为等腰三角形的顶角顶点，即BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径画⊙B，⊙B与x轴的交点即为点C（不与点A重合的点），这时有1个（记为C3）；③当点C为等腰三角形的顶角顶点，即CA=CB时，因为圆心与半径都不确定，此时就不能通过画⊙C来确定点C了，但CA=CB，故点C在线段AB的垂直平分线上，过⊙A与⊙B的两个交点画直线，即为线段AB的垂直平分线，它与x轴的交点即为点C（恰好与原点O重合），此时有1个（记为C4）。……