姚燕燕, 徐 晶, 高红亮

(兰州交通大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

考虑研究一维Minkowski空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题：

(1)

正解的确切个数及分歧图, 其中λ>0,0

(2)

起源于可燃气体的动力学,Ω是RN中的有界域,(2)的非平凡解是热反应过程的稳态, 在这里λ>0被称为Frank-Kamenetskill参数, 具体见文献[1-3].

另外, 问题(1)是Minkowski曲率方程Dirichlet问题：

(3)

的一维情况.

众所周知, 平均曲率问题在微分几何和狭义相对论中有着重要的作用.

2007年,Bereanu和Mawhin[4]运用Larea-

Schauder度理论研究了非线性边值问题：

(φ(u′))′=f(t,u,u′),l(u,u′)=0

解的存在性和多解性, 其中l(u,u′)=0代表在[0,T]上Dirichlet、周期或者Neumann边界条件,φ:(-a,a)→R是增同胚并且φ(0)=0.

2012年,Coelho 等[5]运用变分方法和拓扑度理论研究了一维Minkowski-曲率方程Dirichlet问题(1)正解的存在性和多解性, 其中参数λ>0.2013年,Bereanu等[6-7]通过临界点理论, 上下解方法和Larea-Schauder度理论讨论了Minkowski空间中Dirichlet问题(3)在球域上径向正解的存在性和多解性.

2016年, 马如云等[8]运用分歧理论研究了在球域上问题(3)正解的全局结构. 接着,代国伟[9]运用分歧理论分别对非线性项在零点渐近线性、次线性和超线性情形下球域上问题(3)径向变号解的全局结构进行了讨论.

上述文献对平均曲率问题正解的存在性研究较多, 然而对其正解的确切个数研究较少.

2018年, 张雪梅和冯美强[10]运用时间映像原理研究了问题

(4)

正解的确切个数及分歧图, 其中λ>0,L>0,并且在f满足一定条件下获得了如下的重要结果.

(c)若f(u)=up(p>1),则存在λ*>0，使得当λ∈(0,λ*)时, 问题(4)没有正解;当λ=λ*时, 问题(4)恰有一个正解;当λ∈(λ*,)时, 问题(4)恰有两个正解.

对于一维平均曲率问题的其他研究详见文献[13-15]……