杨银杏

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

0 引言

1957年Kurzweil[1]建立的广义常微分方程理论在处理常微分方程、滞后型泛函微分方程、拓扑动力系统及脉冲微分方程等问题时有着重要作用,已被许多学者研究,并取得了一些新的成果[2-3].Federson等[4]建立了滞后型泛函微分方程与广义常微分方程的等价关系,从而,广义常微分方程中的很多相关理论都可以应用到滞后型泛函微分方程中.文献[5]中研究了广义常微分方程的解关于初值和参数的可微性,尽管广义常微分方程的解关于t不一定是可微的，甚至不是连续的,但方程右端函数关于参数(或关于x)的可微性仍能保证广义常微分方程的解关于参数(或初值条件)是可微的.本文借助滞后型泛函微分方程与广义常微分方程的等价关系,考虑滞后型泛函微分方程

(1)

的解关于参数的可微性.

方程(1)等价于积分方程

(2)

其中：函数x:[t0-r,t0+σ]→Rn,r>0,σ>0；xt:[-r,0]→Rn且定义xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],t∈[t0,t0+σ],λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn,其中

P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}⊂G([-r,0],Rn)，

G1∈G([t0-r,t0+σ],Rn)，

(B)对所有的(x,λ1),(y,λ2)∈G1×Λ,u1,u2∈[t0,t0+σ],存在Lebesgue可积函数L:[t0,t0+σ]→R,使得

本文利用广义常微分方程的解关于参数的可微性,讨论滞后型泛函微分方程(1)的解关于参数的可微性.

1 预备知识.

定义1[6]函数U:[a,b]×[a,b]→Rn在区间[a,b]上称为Kurzweil可积的,如果存在I∈Rn,使得对任意的ε>0,存在正值函数δ:[a,b]→(0,+),对[a,b]的任何δ-精细分划D:a=t0

特别地,当

f:[a,b]→Rn，g:[a,b]→R，U(τ,t)=f(τ)g(t)

定义2[5]设F:Ω→Rn,Ω⊂Rn+1,函数x:[a,b]→Rn,若对所有的t∈[a,b],(x(t),t)∈Ω,s1,s2∈[a,b],有

其中，右端积分为Kurzweil积分,则称x为广义常微分方程

(3)

的解.

定义3[6]设F:Ω→Rn+l,其中Ω=G1×[t0,t0+σ]×Λ.如果F属于函数族W(Ω,h,ω),则下列条件成立: 对任意的(x,t1,λ),(x,t2,λ)∈Ω,有

(4)

令z1=(x,λ1),z2=(x,λ2),对任意的(z1,t1),(z1,t2),(z2,t1),(z2,t2)∈Ω,有

从而,对任意的(x,t1,λ1),(x,t2,λ1),(y,t1,λ2),(y,t2,λ2)∈Ω,有

(5)

其中:h:[t0,t0+σ]→R为不减连续函数;ω:[0,+]→R是连续的增函数且ω(0)=0.

引理1[5]设A:[a……