APP下载

双参数弱(下)鞅的一类极大值不等式

2021-04-08文慧敏冯德成杨亚男

关键词:极大值同理结论

文慧敏,冯德成,杨亚男

西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070

设n,m∈N2,n=(n1,n2),m=(m1,m2).如果ni≤mi,i=1,2,则称n≤m,如果ni≤mi,i=1,2中至少有一个严格小于成立,则称n

在本文中,用{Xn,n∈N2}或{Yn,n∈N2}表示定义在概率空间(Ω,A,P)上的双参数随机变量序列.记X+= max{0,X},I(A)表示集合A的示性函数.

定义1[1]设{Xn,n∈N2}是一列Ld双参数随机变量,如果对所有的i,j∈N2,i≤j,都有

E[(Xj-Xi)f(Xk,k≤i)]≥0

其中f是任意分量不减函数并且使上述期望有意义,则称{Xn,n∈N2}是一个双参数弱鞅,如果进一步假设f是非负的,那么称{Xn,n∈N2}是双参数弱下鞅.

近年来,一些学者将单参数弱鞅序列的若干结果推广到了多指标弱(下)鞅的情形,并且给出了多参数弱(下)鞅的一些概率不等式[1-2].很多学者对双参数鞅的概率不等式及相关应用做了广泛研究,并取得了丰硕的成果[3-7].

本文受文献[1]的启发.一方面,将文献[3]中单参数弱下鞅的一类极大值不等式推广到双参数弱下鞅的情形,得到了双参数弱下鞅的极大值不等式,另一方面用非负凸函数作用于弱鞅,得到了双参数弱鞅的极大值不等式.

引理1设{Yn,n∈N2}是一个双参数弱(下)鞅,且g是一个不减的凸函数,g(Yn)∈L1,n≥1,则{g(Yn),n∈N2}是一个双参数弱下鞅.

证由于g(x)是不减凸函数,令

g(x)≥g(y)+(x-y)h(x)

且h(x)是非负不减函数.假定f(x)是任意分量不减的非负函数,则

这里f*(Yk,k≤i)=h(Yi)f(g(Yk,k≤i)),且f*是一个任意分量不减的非负函数.由于{Yn,n∈N2}是一个双参数弱(下)鞅,则

E[(g(Yj)-g(Yi))f(g(Yk,k≤i))]≥0

所以{g(Yn),n∈N2}是一个双参数弱下鞅.

定理1设{Yn,n∈N2}是一个双参数弱下鞅,且当k1k2=0时Yk=0,这里k=(k1,k2).假定{cn,n∈N2}是正的不减数列,则对任意的ε>0,有

这里A1j∩A2j=Ø,IA2j=IA1j∪A2j-IA1j.

所以

这里A1j∩A2j∩A3j=Ø,IA3j=IA1j∪A2j∪A3j-IA1j∪A2j.由于g是一个凸函数,{Yn,n∈N2}是一个双参数弱下鞅,所以有

这里h(Y2j)IA1j∪A2j是一个关于{Y1j,Y2j}分量不减的非负函数.那么有

重复上述证明过程可得

同样地,h(Y2j)IA1j∪A2j∪…∪An1-1,j是关于{Y1j,Y2j,…,Yn1-1,j}分量不减的非负函数,再次利用双参数弱下鞅的性质可得

所以

(1)

同理可得

(2)

综合(1),(2)式结论得证.

推论1设{Yn,n∈N2}是一个双参数弱下鞅,g是一个不减凸函数,g(Yn)∈L1,n∈N2,且当k1k2=0时Yk=0,这里k=(k1,k2).假定{cn,n∈N2}是正的不减数列,则对任意的ε>0,有

证由引理1可知{g(Yn),n∈N2}是一个双参数弱下鞅,再直接利用定理1可知结论成立.

若在定理1中取cij≡1,则有下面的推论.

推论2设{Yn,n≥1}是一个双参数弱(下)鞅,且当k1k2=0时Yk=0,这里k=(k1,k2).则对任意的ε>0,有

定理2设{Yn,n∈N2}是一个双参数弱鞅,g是一个非负凸函数,g(Yn)∈L1,n∈N2,且当k1k2=0时g(Yk)=0.假定{cn,n∈N2}是正的不减数列,则对任意的ε>0,有

证令u(x)=g(x)I(x≥0),v(x)=g(x)I(x<0),则u(x)是一个非负不减凸函数,v(x)是一个非负不增凸函数,且g(x)=u(x)+v(x)=max(u(x),v(x)),则

由推论1可知

(3)

这里IA2j=IA1j∪A2j-IA1j.

由于v(x)是凸函数,令

则v(x)-v(y)≥(x-y)h(x),故

v(Y2j)-v(Y1j)≥(Y2j-Y1j)h(Y1j)

再由双参数弱鞅的性质可得

E[(v(Y2j)-v(Y1j))IA1j]≥E[(Y2j-Y1j)h(Y1j)IA1j]≥0

此处h是非正不减函数,IA1j是分量不增的非负函数,所以h(Y1j)IA1j是关于Y1j的分量不减函数.因此有

这里A1j∩A2j∩A3j=Ø,IA3j=IA1j∪A2j∪A3j-IA1j∪A2j,且g是一个凸函数,{Yn,n∈N2}是一个双参数弱鞅,因此有

E[(v(Y3j)-v(Y2j))IA1j∪A2j]≥E[(Y3j-Y2j)h(Y2j)IA1j∪A2j]≥0

这里h(Y2j)IA1j∪A2j是一个关于{Y1j,Y2j}分量不减的函数.那么有

重复上述证明过程可得

同样地,h(Y2j)IA1j∪A2j∪…∪An1-1,j是关于{Y1j,Y2j,…,Yn1-1,j}分量不减的函数,再次利用双参数弱鞅的性质可得

因此可得

从而有

(4)

所以由(3),(4)式可得

同理

因此结论得证.

若在定理2中取g(x)=x+,则有下面的推论.

推论3设{Yn,n∈N2}是一个双参数弱鞅,{cn,n∈N2}是正的不减数列,则对任意的ε>0,有

若在定理2中取g(x)=|x|,再令cij≡1则有下面的推论.

推论4设{Yn,n∈N2}是一个双参数弱鞅,则对任意的ε>0,有

猜你喜欢

极大值同理结论
由一个简单结论联想到的数论题
立体几何中的一个有用结论
善良的战争:在支离破碎的世界中建立同理心
避免同理心耗竭
班主任应该给学生一颗同理心
结论
基于小波模极大值理论的励磁涌流新判据研究
基于经验模态分解的自适应模极大值去噪方法
行人检测中非极大值抑制算法的改进
基于自适应非极大值抑制的SIFT改进算法