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一类Rosenau方程Cauchy问题整体解的存在性

2021-04-08科,华

关键词:整体证明定义

王 科,华 洋

1.成都工业学院 大数据与人工智能学院,成都 611730;2.电子科技大学 数学科学学院,成都 611731

utt+uxxxxtt-γuxx+uxxxx=f(u)xx

当f(u)=β|u|pu,β≠0和初始能量E(0)>0时,利用势井方法得到了其弱解的整体存在性.

目前,在国内外有很多波浪数值模拟的理论模型,比如缓坡方程、KdV方程、Navier-Stokes方程以及Boussinesq类水波方程等.其中,荷兰数学家Korteweg和他的学生de Vries在研究浅水表面波运动时建立了KdV方程,它是能对包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统很好逼近的模型,并在理论上证实了孤立子波的存在性.KdV方程描述了与孤立子波的产生有关的一维非简谐晶格的振动问题.近年来,人们对于KdV方程的初值问题做了大量工作,由于此方程是在假设弱非调和的条件下建立起来的模型,坡度和高振幅波的性态不能由KdV方程准确预知.在对紧离散系统的研究中,KdV方程不能描绘波与波、波与墙的相互作用关系,为了弥补KdV方程的不足,文献[1-2]提出了Rosenau方程来处理紧离散动力系统.它的两个经典方程为:

ut+uxxxxt-ux+uux=f(u)x

(1)

utt-γuxx+α1uxxxx+α2uxxxxtt=f(u)xx

(2)

文献[3-8]给出了这两个方程解存在性和唯一性的大量结果.文献[9]在有移动边界的区域里得到了方程(1)解的存在性.

本文将考虑方程(2)Cauchy问题解的存在性.不失一般性,在方程(2)中,假设α1=α2=1,也即我们将研究如下Rosenau方程的Cauchy问题

utt+uxxxxtt-γuxx+uxxxx=f(u)xx

(3)

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x)

(4)

则T0=∞.

引理2[10]假设引理1的条件成立,T0>0是问题(3)-(4)解的最大存在时间,则对于所有的0

(5)

我们引入如下能量函数

(6)

和函数

(7)

(8)

证由d的定义,我们得到u∈N,这里N={u∈H1{0}|I(u)=0},即I(u)=0,所以

再由(8)式得到

(9)

另一方面,由(6),(7),(8)式和I(u)=0,有

(10)

当f(u)=-β|u|pu时,作者建立稳定集和不稳定集,在初始能量E(0)

utt-uxxtt+uxxxxtt=-αuxxxx+uxx+f(u)xx

(11)

用同样的方法得到了方程(11)解的整体存在性和爆破.但是这些文献都是在低初始能量E(0)0时对方程的整体解进行研究.当β>0时,文献[13]通过定义新的函数和势井法,在初始能量E(0)>0时,得到了方程(3)整体解的存在性,但是这种方法不适合β≠0的情况.我们将采用文献[14-16]中的方法,构建一个新的势井来讨论问题.

本文分别用Lp和Hs来表示空间Lp(R)和Sobolev空间Hs(R),其范数分别为

‖u‖p=‖u‖Lp(R)‖u‖=‖u‖L2(R)‖u‖Hs=‖u‖Hs(R)

其中

再定义一个空间

其范数为

通过(7)式,我们定义与文献[10]中不同的稳定集

K1={u∈H1|I(u)>0}∪{0}

(12)

不稳定集

K2={u∈H1|I(u)<0}

(13)

和势井深度

对于满足u∈C1((0,T),H1),ut∈C((0,T),H)的解u(x,t),为了在任意正能量时得到解的整体存在性,我们定义一个新的函数空间

下面证明本文中新定义的稳定集和不稳定集是不变集.

引理4(不变集) 假设f(u)=β|u|pu,β≠0,φ∈H1,ψ∈H,u(x,t)∈C1([0,T0);H1)是问题(3)-(4)的唯一解,这里T0是解的最大存在时间.如果E(0)

证因为1)和2)的证明是类似的,所以我们只需证明2).假设u(t)是问题(3)-(4)满足E(0)

d≤J(u(t*))≤E(u(t*))=E(0)

(14)

则由引理 3和(14)式,可得

所以

其实对于1),由I(t)和E(t)的定义有

如果I(u(t))>0,则

所以,

得证.

利用本文新定义的不变集和文献[10]中的方法也能得到文献[10]中同样的结果,这里不再赘述.

本文的主要结果如下:

定理1假设2≤s≤p+1,φ∈H1,ψ∈H,如果

E(0)>0

(15)

(16)

(17)

则问题(3)-(4)的解整体存在.

引理5假设u(x,t)是问题(3)-(4)带初值条件(φ,ψ)(φ∈H1,ψ∈H)的解,如果初值条件满足(15)和(17),则当u(x,t)∈WT时,映射

是严格递减的.

证我们定义

(18)

两边对t求导得到

(19)

由(3)式得到

其中X={u∈C1((0,T),H1)∩C((0,T),H)|u(x,0)=φ,ut(x,0)=ψ}.

因为u(t)∈WT,所以当t∈[0,T)时,

F″(t)<0

再由(17)式得到

所以F′(0)<0.又因为F′(t)

是严格递减的.

引理6假设2≤s≤p+1,φ∈H1,ψ∈H,u(x,t)是问题(3)-(4)在最大存在区间[0,T)满足u∈C1((0,T),H1),ut∈C((0,T),H)的弱解.如果初始值满足(15)-(17)式,则u∈WT.

证我们将证明对任意的t∈[0,T),u(t)∈WT.

反证法:假设存在第一个t*∈(0,T)满足

(20)

和对任意的t∈[0,t*),

(21)

由(18),(19)式和引理5可知F(t)和F′(t)在区间(0,t*)上都是严格递减的.由(17)可得对所有的t∈(0,t*),

(22)

另一方面,由(5)-(7)式和引理2,可得

由(5)式有

由下面的等式

‖utx(t*)‖2=‖utx(t*)+ux(t*)‖2-‖ux(t*)‖2-2(ux(t*),utx(t*))

和引理5可得

(25)

所以

(26)

显而易见,(18)和(21)式矛盾.引理得证.

定理1的证明由引理 1,可知问题在最大存在区间[0,T)上有唯一的局部解.假设u(x,t)是问题满足u∈C1((0,T),H1),ut∈C((0,T),H)和(15)-(17)式的弱解.由引理6可得,u(x,t)∈WT,即当t∈[0,T)时,

(27)

因而,由引理2,(5),(7)和(25)式,可得

由此可得u(x,t)和ut(x,t)分别在空间C1((0,T),H1)和空间C((0,T),H)中是有界的.所以由引理 1 可知T=∞,即问题的解整体存在.

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