孙小梅,臧爱彬

(1.西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

(2.宜春学院数学与计算机科学学院和宜春学院应用数学研究中心,江西 宜春 336000)

1 引言

在半平面上具有Dirichlet边界条件的Euler-α方程组有如下描述

文献 [2]通过使用几何工具证明了初始值u0∈Hs(Ω)(s>2)时问题 (1)的存在唯一性.文献[3]用描述粒子演化的唯一拉格朗日流图证明了Radon测度空间中具有初始涡量的二维Euler-α方程组整体弱解的存在唯一性.对于足够光滑的初始数据,文献[4]证明了Euler-α方程组存在唯一局部强解,并证明了二维情况下Euler-α方程组具有整体唯一强解.

形式上,令方程组(1)中的参数α=0,可以得到Euler方程组的初边值问题

对于Euler方程组的适定性已经有了广泛的研究,文献[5]证明了n维区域内Euler方程组(2)经典解的局部存在唯一性,而在二维情形下该解还是整体存在的,更多细节读者可参考文献[6].

以及边界条件

本文的主要内容结构如下:第二部分给出了加权Lebesgue-Sobolev函数空间以及解析函数空间族的定义及性质.简述了ACK定理的内容和证明一些有用的命题.最后部分通过构造边界层方程组的等价形式,引入了两个技术性的引理,从而给出本文的主要结论及证明.

2 符号及预备知识

为方便起见,对于正数r,τ>0,定义以下的加权Lebesgue函数空间

以及加权的Sobolev函数空间

并记

具有范数

本文还需要利用到下列单变量实解析函数空间

以及

性质 2.1 设 0<τ′<τ,则有

ACK 定理[14]设 {Bs:00,T>0,对 ∀0

其中C不依赖于s,s′,t,u,v.此外F(0,t)∈Bs在(0,T)是连续的且存在固定常数K,使得‖F(0,t)‖s≤K.则对于 0

存在唯一解 u(t)∈Bs,0

对可测函数f,考虑下列方程

其……