甘小霞 覃菊莹

（广西大学 广西·南宁 530004）

随着信息技术的高度发展，信息技术的应用已渗透到教学的各个环节，高校教学的环境和条件也相应发生了改变。比如，依靠网络技术，翻转课堂的设计、微课视频的录制更灵活、更容易实现；学生对学习资源的访问更灵活、更自主等。在传统课堂教学的基础上，出现了线上教学模式、线上线下相结合的教学模式等。其中，线上线下相结合的混合式教学模式得到了普遍的认可，它主张把线上教学和线下教学有机融合，充分发挥各自的教学优势，既要体现教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又要充分体现学生作为学习过程主体的主动性、积极性与创造性，二者优势互补，从而获得更佳的教学效果。这很符合高等数学教学改革的目标，因此，本文作者也根据《高等数学》课程的教学特点和教学目标，采用了线上线下混合式教学模式，并作了如下实践研究。

1 线上教学实践分析

2020上半学年特殊时期，线下课堂无法正常开展，传统课堂受到了巨大的冲击，几乎所有的课程都只能采用线上教学进行授课。这期间，依托腾讯课堂，本文作者承担的高等数学课程也采用了线上授课模式，结合慕课、网易公开课等开展课外学习补充，QQ群进行答疑讨论等多种线上方式，打破地点限制，完成了疫情期间的线上线下教学工作。学生的学习感受调查反馈为：学习氛围不浓，不容易进入学习状态，听课中更容易走神；但回放功能和线上答疑使得答疑解惑更灵活，对学习有一定帮助。教师实践调查反馈为：课堂互动展开不如线下课堂，在激励学生进一步思考问题、培养学生创新能力和应用能力这方面不如线下课堂。本次线上教学的线下考试结果：及格率低于往届学生，考试结果也表明，线上教学的教学效果不如线下传统课堂教学。

本文作者经过这次线上教学实践，对线上、线下教学的优缺点有了进一步的实践认识，积累下宝贵的线上、线下混合式教学实践经验。本次教学实践也验证了一个共识——在目前的信息技术条件下，线上教学仍无法取代线下教学，但可以成为线下传统课堂的有益补充。

2 混合式教学的必要性

本文作者承担的《高等数学》教学，是班级人数将近200人的大课堂，上下册每册课堂课时只有80课时，知识内容量大，相对教学内容而言，课堂学时较为紧张。若单靠传统的课堂教学模式，课程内容的深度和广度都无法得到充分的展开，线下课堂学时对课程内容的制约明显。

而本次疫情期间线上教学实践经验表明，这个掣肘可以通过引入一定的线上课堂来打破，因为线上课堂不受空间、时间、人数的约束。同时通过多层次的混合式教学设计，可以帮助学生提高学习兴趣、学习深度和广度、学习效率、学习效果。

3 教学设计案例

将信息化教学设计应用到整个教学环节，需要教师在教学中，根据教学目标来明确各个教学环节的作用，分析传统课堂的课前、课中、课后，线上、线下教学的结合点，明确每个设计的实际目标，以便把知识更好地传授给学生，同时让学生在学习知识的过程中获得各方面能力的加强和提升。

以下以“定积分概念”为例，按照教学目标设计相应的教学环节。

（1）授课内容：定积分的概念及其性质。线下传统课堂计划学时：2学时。

教学目标：理解定积分的概念及几何意义；掌握定积分的基本性质。

（2）课前设计：

设计目的：通过问题，引导学生去思考割圆术蕴含的数学思想，并尝试自己给出进一步的猜想和实践证明，培养学生的探索精神，化被动学习为主动学习。

采用模式：线上发布PPT文档。

文档内容如下：

三国时代数学家刘徽的割圆术

刘徽割圆术是建立在圆面积论的基础之上的。他首先论证：将圆分割成多边形，分割来越细，多边形的边数越多，多边形的面积就和圆面积没有差别了。越割越细，多边形和圆面积的差越小。如此割了再割，最后终于和圆合为一体，毫无差别了。

6边形的面积与圆面积相差很多。

内接正12边形面积=6边形面积+6个蓝色三角形面积，向圆面积趋近了一步。

正24边形面积=6边形面积+6个蓝色三角形面积+12个黄色三角形面积，更加接近圆面积了。

显然：正12边形面积＜正24边形面积＜正48边形面积＜正96边形面积……＜内接6*2N边形面积＜圆面积。

内接6*2N边形面积→圆面积。

问题1：请给出割圆术每一次切割对应的数学表达式。

问题2：“如此割了再割，最后终于和圆合为一体，毫无差别了。”这句话仅是主观的感性认识，还是可以给出数学的严谨证明？刘徽割圆术的数学原理是什么？

（3）传统线下课堂设计：

设计思路：通过对课前导引问题的分析，激发学生的学习兴趣，引导学生进行归纳总结、展开类比，掌握由有限到无限、由特殊到一般、逆推等数学思想方法，培养独立探索的精神和养成严谨思维的习惯。

授课方式：以前置问题为导引，以启发式教学为主。具体设计如下。

首先，一起探讨课前导学中的问题：刘徽割圆术的思维过程、极限思想的体现及其严谨性等。

记圆的半径为r，

分割：当切割为正n边形时，

提问：无论怎么割圆，总还是存在误差。割得越多，误差就越来越小吗？你怎么判定误差越来越小？能给出误差的数学表达式吗？是个单调数列吗？割到的正多边形的面积极限一定是圆的面积吗？

通过上述一系列问题，逐步将学生引导到在极限存在证明中的单调有界定理应用，并通过对刘徽割圆术和阿基米德割圆术夹的比较，揭示夹逼思想和夹逼定理在极限计算中的应用，以及计算机实现近似计算的算法设计，比较两种算法在人工计算和计算机计算中的优劣。从过去到现在，从数学思想、数学逻辑的缜密性到计算机技术的应用，带领学生体会古代数学家的伟大和现代科技的发展。

其次，再与学生一起类比推广到课前导学中的问题：由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成图形的面积可以怎样解决。

分割：我们先对[0,1]区间进行分割，如分为n等分，

求极限：对这个和式求极限

在这过程中，主要通过均分，并对剖分区间依次取左端点、右端点，区间内任意取点来进行高度计算，通过计算过程和计算结果的比较，将单调有界定理、夹逼定理等知识点的应用再次进行直观展示，证明所求极限即为所求面积，进而将任意分割，分割足够小，任意取点的概念提出。

最后，推演至一般曲线构成的曲边梯形面积的求解问题，物理背景提出的变速直线运动的路程问题的计算，提炼出这些不同背景的问题的解决思路，都蕴含有分割、求和、取极限的思想，从而顺理成章地得到定积分的定义。

（4）课后环节设计：

其次，根据批改中发现的问题，再适当安排一定量的线上课堂习题的讲解和答疑，线上课堂可以反复回放，学生可以根据需要随时观看。

本节教学案例设计，主要目的是让学生亲历知识的发现过程。教师在引导学生获取知识的同时，指导学生进行探究式学习，让学生充分参与教学活动，教授知识的同时培养学生的逻辑推理等能力。

4 结语

一个完整的线上、线下，课前、课中、课后的教学设计，必须依据教学定位有目的地进行。不论哪一种教学模式，只要是从学生的角度出发，以学生的学习和发展为中心，采用适当的教学手段和教学方法，在现有的软件、硬件支撑下去进行教学设计，营造出好的学习氛围，能更好地实现教学目标，就是好的教学模式。