王钰荥

[摘 要]通常认为，解题正确率越高，学生对解题技巧掌握得越深刻，但是，解题正确率不是评价教学效果的唯一指标，如果学生思辨能力得不到有效锻炼，就不足以应对各种变式，故此，找准学生认知起点，训练思维能力才是长久之计。

[关键词]比例;方程;单位;份数;解题;思维

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）08-0024-02

偶然读到一篇数学教研论文，题为《最基本的，是最有效的》，全文对一道数学题的解答进行深度剖析，原题为：两条红丝巾的长度比为5∶4，各自剪短28 cm后，两条红丝巾余下的长度比为3∶2，两条红丝巾原长分别是几厘米？文中记述的解法为（5[x]-28）∶（4[x]-28）=3∶2，然后力证其有效性，并提供高达96%的正确率为佐证。笔者曾尝试如此教学，但效果极差，该解法的有效性不得不令人怀疑。

疑惑一：用方程解此类问题，毕业班学生能作出这么完美的解答吗？

疑惑二：如果换作笔者教学，该如何讲授？

【调查】

笔者曾对42位毕业班的数学教师进行视频访谈，设计了三大问题：

1.如此类方程：（4[x]-28）×3=（5[x]-28）×2，評讲起来是否有困阻？

A.有             B.没有

2.学生解方程的正确率应该落在哪个比例范围？

A.大于80%     B.50%至80%     C.小于50%

3.学生解方程的正确率可能超过95%吗？

A.有可能     B.不可能

调查结果统计如下：

小学课本解方程部分内容以等式的基本性质为理论依据，适当插叙利用运算性质来解方程的方法。分析上表可知，对于等式两边都有未知数的方程，多数教师还是无法讲清它的解法，可想而知，学生的正确率高不到哪里去。同时，受访教师一致认为学生解方程的正确率高于95%是天方夜谭。

为了获取可靠情报，笔者在蹲点的学校七年级进行调查，这所区重点中学七年级共有25个班级，14名专职数学教师，对数学教师的调查结果统计如下：

初一的学生有“等式的性质”和“有理数的四则运算”等知识打底，受访教师普遍认为讲清这类方程解法不是难事，学生解答正确率直线上升，但是仍有部分教师对正确率达到95%信心不足。

综上所述，此类题若采用列方程解答，列方程容易，解起来却困难重重，就算教师示范解答，学生也只能机械模仿，无法心领神会，正确率自然要打折扣。这样的题型在课外教辅中屡见不鲜，如果换笔者进行教学，又该如何处理？学生解答这类题的认知起点在哪里？教师如何在追求正确率的同时，锻炼学生的思维呢？带着这些问题，笔者大胆进行专题教研。

一、揭示单位份数差异

片段一：教学基础题

[基础题1]班级庆祝端午节，买回10千克粽子，2千克发糕，5千克南瓜饼，粽子与发糕的质量比是（    ）;粽子与南瓜饼的质量比是（    ）。

（学生口答）

师：同样是10千克粽子，为何在第一个比中占据5份，到第二个比中却变成2份呢？（将板书中的数字5和2标红）

生：第一个比中一份粽子的质量是2千克，第二个比中一份粽子的质量则是5千克。

师：同一数量，分成的最小的计量单位不同，包含的份数也不同。（板书：计量单位不同）

[设计意图：让学生从形象的物质配比中，深切认识到，同一数量，计量单位不同，包含的份数也不同，而这正是学生做后续拔高题的认知起点，如此教学为后续的学习打下根基。]

[基础题2]张志强与李水生的腰围比是5∶3，李水生与马爱国的腰围比是2∶3，你能判断张志强与马爱国谁的腰围谁更大吗？为什么？

生1：张志强的腰围大，因为张志强的腰围是5份，而马爱国的腰围是3份。

生2：反对，两个比的最小计量份数不一样，无法直接比较。

师：大家认为呢？现在无法比较，什么时候才能比较？

（生交流，认为应先将两个比中的最小计量份数统一标准）

师：如何将两个最小计量份数统一？

生3：李水生的腰围在前一个比中占据3份，到后一个比中变为2份，根据比的基本性质，将3份和2份统一切分化成6小份。

师：为什么偏偏选中6？

生4：因为6是2和3的最小公倍数。（板书：最小公倍数）

师：谁来详述转化过程？

（生说，师板书。张志强∶李水生=5∶③=10∶6，李水生∶马爱国=②∶3=6∶9）

师：原来两个比的最小计量份数有差别，可以借助比的基本性质，将李水生在两个比中占据的份数化成6份（在黑板上圈定6），如此一来，两个比的最小计量份数就统一了（板书：比例的基本性质，最小计量份数统一），就具有可比性。（此时，张志强和马爱国的腰围大小一目了然）

[设计意图：从对比腰围的生活情境中，让学生意识到单位份数不一样的两个比中的项无法直接比较大小，同时粗略领悟到借助比的基本性质，选择两个项的最小公倍数作为纽带，将最小计量份数统一。教师在黑板上圈定扩充后的项、演示“扩比”的操作步骤，教授学生必备技能。]

二、一个量不变下的解比例

片段二：教学拔高题“一个量不变”

[拔高题]甲乙两条红丝巾原长之比为7∶3，如果甲截短20米，两条红丝巾的现存长度比为3∶2，两条红丝巾的原长各有多少米？

师（启发）：可否这样思考，甲原有7份，减去剩下的3份等于截短的4份，于是20米就对应着4份呢？

生1：不行，最小计量份数不同，不可以直接相减。

师：你怎么知道最小计量份数前后不一致？

生2：因为乙丝巾的长度自始至终没有发生改变，但是它的比值却由3份变为2份，有力证明了最小计量份数不相同。

师：能不能设法将前后的最小计量份数统一？请同学们演算一下。

（生独立作业，投影仪投影。课件出示：

原长构成的比例：甲∶乙=7∶③=14∶6

现长构成的比例：甲∶乙=3∶②=9∶6）

师：当乙占比6份的时候，甲的原长则随即调整为14份，现存长度则随即调整为9份。你能推定此时的最小计量份数是几吗？

（生尝试列式：20÷（14-9）=4（米））

师：你可以进一步求出两条红丝巾的原长吗？

（生尝试解答）

[尝试题]糕点房里粽子与发糕的质量比是5∶4，售出60千克粽子后，现有粽子与发糕的质量比是1∶2，糕点房里原有粽子多少千克？

（生独自尝试解题，然后集体评析）

（师课件出示解答过程：

原有粽子∶發糕=5∶④

现存粽子∶发糕=1∶②=2∶4

60÷（5-2）=20（千克）;20×5=100（千克）

答：原来有粽子100千克）

师：比较上面两道题，你能找出解法的相同点吗？

最后，师生探讨并归纳“一个量不变”的比的问题的解法：先锁定前后两个比中恒定的数量;借助比的基本性质，将恒定的数量对应的最小计量份数统一;根据数值的变量和份额的变量的一一对应关系，算出最小计量份数的具体数量;利用份数对应的具体数量和份数求出结果。

[设计意图：在学生对例题的解法有了初步认知后，设计同类题，让学生进行模仿训练，将务虚的认知内化为实用的技能，现学现卖，学练结合，有利于增强学生的执行力。同时在对比中，归纳出解决类似问题的一般流程，编写解题程序，为后续的学习打下基础。]

三、正确率与教学效果的辩证统一

因为正确率达到了96%以上，就认为方法奏效，这是盲目乐观，须知“正确率高”与“方法有效”不能等量齐观。研究学生是否掌握解法，解题正确率充其量只能算一个末流的考量指标，解题时学生思维受训程度，能力提升层次等诸多因素同样重要。

教师进行解题教学务必要把准学生的认知原点，从原点出发，设计有难度梯级的题目，循序渐进环环相扣，这样才能锻炼学生的思维，锻炼学生的执行力，这样解题才能维持稳定的正确率而不是侥幸得手。当然，上述题型的解法并不唯一，比如用分数应用题中惯用的技法——假设恒等量为单位“1”，然后按照分数性质来解，也能行得通，但是这种解法学生的认知起点不一样，教师又需要重新定位。

原文作者尝试了“扩比法”后，由于效果欠佳，所以改弦易辙，换用方程法。殊不知，这样的方程属于七年级课程，超前教学无异于揠苗助长，没有训练学生的思维，即使学生勉力解出方程，提高的也是解方程的能力而不是解比的问题的能力。对于这样的题型，算术方法是重分析轻计算;方程法是重计算轻分析。

（责编 吴美玲）