杨勇 刘思含 黄玲艳 杨学凤 赵艳辉

摘要：本文根据留数定理和相关结论，主要讨论以下沿闭曲线的积分问题：当闭曲线围成的区域内被积函数的孤立奇点个数较多或者极点的阶数较高时，通过无穷远点的留数简化计算。并简化了文献[5]—[6]中的相应结论，使其更方便于理解和应用。

关键词：复积分;无穷远点;孤立奇点;留数定理

解析函数是《复变函数论》研究的中心问题，而与函数解析相对立的概念是函数的奇点，其中的孤立奇点是解析函数的奇点中最简单也最重要的一种类型，在孤立奇点的去心邻域内，以解析函数的洛朗展式为工具可以很好地研究该解析函数的性质。由于函数f（z）在点∞总是无意义的，所以点∞总是f（z）的奇点。若点∞是f（z）的孤立奇点，则通过其在去心邻域内的洛朗展式可以讨论函数在无穷远处的性质，其中一个重要的结论是函数f（z）在点∞的留数是其洛朗展式中负一次幂的系数的相反数。根据留数定义可以把沿闭曲线的曲线积分问题转化为求孤立奇点处的留数问题。

关于留数的计算，一般的《复变函数论》教材都有详细的讨论。在文献[1]—[3]中对一些特殊函数的留数问题进行了讨论，得到了相应的计算方法;在文献[4]中介绍了沿闭曲线的积分可用柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等方法计算;而在文献[5]—[6]则讨论了含点∞的区域的柯西积分公式和留数定理。

本文根据留数定理和相关结论，主要讨论以下沿闭曲线的积分问题：当闭曲线围成的区域内被积函数的孤立奇点个数较多或者极点的阶数较高时，通过无穷远点的留数简化计算。……