钟志华 唐悦 凌皓岚

[摘  要] 随着人们对数学认识的不断深化，“数学是关于模式的科学”这一观点已经逐渐成为数学界的共识.因此，数学教学设计应该紧紧立足模式的观点，这不仅有利于深化对数学教学本质的认识，而且有利于构建充分体现数学学科特点的数学教学设计理论.本设计以案例的形式揭示了基于模式观的数学教学设计一般需要经历：创设情境，识别特征;解构特征，发现猜想;验证猜想，建构模式;转换模式，深度发现;归纳发现，精制模式等过程.

[关键词] 模式观;数学教学设计;等比数列求和

自20世纪30年代著名哲学家A.N.怀特海提出模式论的数学观以来，“数学是一门研究模式的科学”这一观点已经逐渐成为数学界的共识，美国数学家斯蒂恩明确提出，数学是模式的科学.数学就是运用这些模式对于适用的自然现象进行描述、解释和预言.《义务教育数学课程标准》也指出，数学是关于模式的科学，数学寻求尽可能简单、普遍适用的模式来解决认识自然、发展社会以及数学自身世界的各种问题[1]. 不仅如此，模式观在数学教学中也发挥着越来越重要的指导作用.美国著名数学家波利亚从数学问题解决角度对模式观进行了深入研究，提出了问题解决的一般模式——“解题表”及问题解决的四种基本模式：双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式和叠加模式;而美国数学家斯蒂恩通过研究归纳出了模式的六项重要作用并认为，“基于模式的数学课程”可以整合“注重基本能力”和“问题解决”这两种学习方式的优点，可以在夯实基础的同时给学生以高层次思考技巧的挑战;美国戴尔等人的一项研究也实证：1200名低成就水平中学生在实行了“基于模式的数学课程”后表现水平出现显著进步，参与教学的32位教师一致认为，这种课程是唤起学生学习兴趣最有效的方式[2]. 我国著名数学家徐利治先生和郑毓信先生则进一步提出，数学教学的一个基本目标就在于帮助学生逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力.

综上，“数学学习本质上就是建立数学模式的过程”这一观点不仅已逐渐成为学界共识，而且也在实际教学中得到很好的践行. 本文尝试利用模式观指导“等比数列前n项和”的教学设计.

[⇩] 教材地位与作用分析

等比数列是继等差数列之后学习的又一类重要数列，作为一种重要的数学模型，等比数列在高中数学学习中具有非常广泛的应用，比如许多数列的求和最终都要转化为等比数列的求和问题;同时，等比数列还为高等数学的学习奠定了重要的知识基础，如幂级数从本质上可以看作是等比数列的求和问题;另外，等比数列在现实生活中也具有非常广泛的应用，诸如储蓄、分期付款等问题研究的就是等比数列模型.

从等比数列求和公式的发现过程看，不仅渗透了类比、从特殊到一般、先猜后证等重要思想方法，而且还用到“错位相减”这一重要解题方法，这些方法不仅对进一步的数学学习特别是数学问题的求解具有重要指导意义，而且对学生数学素养的形成也具有深远的影响.

分析依据：从模式观点看，教材地位分析主要研究新建模式与学生哪些已有模式或后续模式之间有联系？有何联系？这不仅为学情分析提供依据，而且为教学目标和教学重难点的确定指明方向，同时还可以为教学方法的选择和教学过程的设计提供指导. 比如，如果认识到等比数列与等差数列之间具有并列关系，就有可能通过类比等差数列来引入等比数列;而如果以学生学过的特殊等比数列作为出发点，则适宜采用从特殊到一般的研究方法.

[⇩] 学情分析

学生虽然在此之前刚刚学过等差数列的求和公式，但是由于等比数列求和方法与等差数列之间很难直接通过类比得到，因此，在分析学生认知起点时还需要考虑有没有其他更为合适的切入点. 考虑到学生之前有特殊等比数列（如公比为2的等比数列）的求和经验，可以尝试对学生的原有经验进行开发并采用从特殊到一般的方法来探索一般等比数列的求和方法. 虽然公比为2的等比数列求和方法无法直接迁移到一般等比数列，但由该方法可以想到要“将等比数列前n项的求和问题转化为求该数列的第n+1项”，这可以为问题的顺利解决指明前进方向.

分析依据：学情分析包括学生学习新知识所具有的知识基础、学生的思维特点、学习特点、心理特点和生理特点等.知识基础重在准确把握学习新知识的认知起点，从模式的观点看，就是要了解学生头脑中是否真正具有构建新模式的旧模式（固着点）;学习特点主要了解学生通常采用哪些学习方法，这些方法是否适应新知识的学习等，从模式的观点来看，就是要了解学生是否掌握了建构新模式的方法，如是否掌握了从特殊到一般、归纳与类比等方法;心理特点主要是了解学生是否具有探索并建构新模式的心向（奥苏贝尔语）.

[⇩] 教学目标

1. 理解等比数列的求和公式，能运用公式解决简单的数学问题与实际问题;

2. 经历等比数列前n项和的探究过程，体会归纳与类比、从特殊到一般、先猜后证等数学思想方法，领会“错位相減法”的基本原理，能结合等比数列的定义对其他推导方法进行适当探索;

3. 在等比数列求和公式的学习过程中感受模式观点，在分享历史上相关研究成果的同时，体会数学文化的博大精深，激发学生学好数学的兴趣和积极性.

分析依据：从模式的观点看，教学目标就是要建立数学模式.但数学模式不是“空中花园”，它需要建立在已有模式基础上. 因此，在设计教学目标时不仅要根据学生头脑中的已有模式来探索所能建构的模式（维果斯基将其称为最近发展区），同时还需对所要建构的数学模式进行任务分析以确定数学模式的建构路径. 就本节课而言，由于学生过去已有公比为2这一特殊等比数列的求和经验，只要教师适当加以启发引导，学生不难从公比为3、4、5…等特殊等比数列求和过程中归纳出等比数列的求和公式与求和方法，因此确定目标2对学生应该是合理的.至于为什么确定目标3，这一方面是为了充分体现普通高中数学课程标准所倡导的“数学建模”这一核心素养;另一方面则考虑到等比数列求和公式的历史素材比较丰富，对这些素材进行深度开发可以充分体现因材施教的教学原则.

[⇩] 教学重难点

1. 教学重点：等比数列求和公式的发现及错位相减法的理解.

2. 教学难点：等比数列求和公式的发现及错位相减法的析出.

分析依据：美国心理学家约翰·D·布兰斯福特研究发现，专家的知识不仅仅是对相关领域的事实和公式的罗列，相反它是围绕核心概念或“大观点”组织的，这些概念和观点引导他们去思考自己的领域[3]. 这里的核心概念或大观点实际上就是人们通常所说的重点知识.由于等比数列求和公式不仅在今后的数学学习中具有非常重要的作用，而且在生产实际中也具有非常广泛的运用，同时公式的发现过程中涉及归纳与类比、从特殊到一般、先猜后证等诸多数学思想方法（“大观点”），这些思想方法的运用不仅有助于培养学生的创新能力，而且可以提升学生的数学素养.因此将等比数列求和公式的发现作为教学重点;而之所以将错位相减法作为教学重点是因为它在许多数列的求和中十分常用.

而将等比数列求和公式的发现及错位相减法的析出作为教学难点是因为在探索过程中不仅需要对公比为3、4、5…等多个特殊等比数列之和进行观察、归纳、猜想，而且需要运用归纳与类比、从特殊到一般、先猜后证等诸多数学思想方法，同时还需要教师适时、适度地启发引导.

[⇩] 教法与学法

1. 本节课主要采用问题解决教学法.

分析依据：问题解决教学是教师通过创设问题情境，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程.数学课程标准将“问题情境—建构模式—问题解决与反思”作为数学课堂教学活动的基本形式[4]. 而从模式观点看，就是要让学生充分经历“问题情境”“模式解构”“模式建构”“问题解决”“模式精制”“模式应用”等一系列过程来解决问题，同时在解决问题的过程中构建数学模式、掌握科学研究的一般方法、提升数学核心素养. 本节课中无论是公式的发现与证明，还是“错位相减法”的产生都应该让学生在充分探索的基础上自然而然地产生出来，而不应该由教师强加给学生.要实现以上目标，需要教师在精心设计的基础上由浅入深地构建“问题串”来启发引导学生去探索、去发现.

2. 本节课的学法主要采用自主探究与合作学习相结合的方式.

[⇩] 教学过程

1. 创设情境，识别特征

国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子放上2颗麦粒，第3个格子放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子. 请给我足够麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.请大家思考一下，这64个格子上到底应放多少粒麦子？

设计意图：情境创设不仅是为了激发学生学习兴趣，而且还要能引发学生的数学思考并进而提出数学问题，同时情境还需要为新知识的学习提供认知起点，并能有效促进新知识的生长. 等比数列求和公式的学习既可以类比等差数列求和公式来引入，也可以借助学生熟悉的生活经验创设生活化的教学情境. 虽然类比等差数列求和公式时问题的提出比较自然，但由于两者的推导方法有本质的不同，因此没有采用;虽然学生对某些生活情境比较熟悉，比如可以从学生熟知的利率、人口增长等问题来引入，但由于这类问题的公比太过复杂，不利于充分暴露等比数列的本质属性，也不宜采用. 本设计之所以采用大家熟知的“麦粒问题”，一方面是因为这个问题本身非常有趣，另一方面最主要的是可以为学生探究等比数列的求和公式找到一个很好的“踏脚石”，即可以从q=2这一特例开始通过不断推广循序渐进地推出一般等比数列的求和公式.

很不错.大家能非常迅速地解出这个问题. 从这个问题的解决过程中大家能不能有什么新的发现？

设计意图：这个问题的求解对高中学生来说应该不會存在太大困难，事实上，有许多学生在小学阶段就知道可以通过加“1”再减“1”的方法来进行求和.但仅仅满足于求解这一问题是远远不够的，教师应该进一步引导学生通过深度思考对这个问题及其背后的解法进行深度开发，让这个“老”问题焕发出新生机.比如，可以让学生由这一问题进一步思考“这是什么问题？”“如何求更一般的等比数列的和？”“为什么要加‘1’再减‘1’？”“这种方法有没有推广价值？”等问题，从而自然而然地引出“如何得到等比数列的求和公式”这一课题.

2. 解构特征，发现猜想

刚才很多同学都想到了要研究等比数列的求和公式，看来大家很善于举一反三.那下面我们就来进一步研究一般等比数列的求和公式，为了简化问题，我们假设首项a=1，公比为q（q≠1）（下文中除非特别说明，一般都假定q≠1），则等比数列的前n项之和可以表示为S=1+q+q2+…+qn-1. 对于这一问题同学们有没有什么想法？

设计意图：对于这一问题，学生比较容易想到的可能是与等差数列求和公式的推导方法进行类比，有这种想法非常正常，教师不应抑制学生的思维，可以让学生先尝试一下，当学生发现“此路不通”以后自然会另辟蹊径;也有学生可能会想到与“麦粒问题”进行联系（因为老师刚刚讲过这个问题）;还有学生可能会一筹莫展……. 如果学生能够想到与“麦粒问题”进行联系，那固然很好;如果学生没有想法，教师可以通过适当启发将学生的思维导向“麦粒问题”.

追问：刚才有同学想到将等比数列的前n项之和S=1+q+q2+…+qn-1与“麦粒问题”进行联系，这个想法很有意思.那怎么利用求解“麦粒问题”的方法来计算S呢？

设计意图：学生想到将等比数列的前n项之和S=1+q+q2+…+qn-1与“麦粒问题”进行联系可能只是一种直觉或“朦胧”的想法，通过追问一方面可以将问题进一步明朗化;另一方面，则可以引发学生的深度思考.

但学生直接由“麦粒问题”推导出S=1+q+q2+…+qn-1的和还有困难，教师可以对学生进行启发引导.

问题：看来这个问题有点难，那同学们能不能先求一些比較简单的等比数列的前n项之和？如果可以，那准备先研究哪个数列呢？

设计意图：美国著名教育家奥苏伯尔在其名著《教育心理学——认知观点》扉页上这样写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么. 要探明这一点，并应据此进行教学.” 寻找认知起点固然重要，但它仅仅只是教学的第一步（尽管也是非常重要的一步），教学要取得成功还必须把认知起点作为新知识的生长点或新思想的生发点，并灵活运用各种策略来启发学生从这些认知起点出发生成新知识、新思想、新方法. 著名数学家华罗庚在强调“以退为进”方法的重要性时指出：要“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.”同时他还指出：“先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后由此向前推进.”提出这一问题是希望学生能从公比为2的等比数列前n项的求和方法这一认知起点出发，然后逐步向前推进，依次考察q=3，4，…，直到学生找到等比数列的求和规律为止.

追问：有不少同学想到先求q=3的等比数列的前n项的和，那怎么求呢？

设计意图：这一问题既是上一问题的延续，同时又是从公比为2的等比数列向公比为任意值的等比数列过渡的关键一步.

如果学生能够联想到公比为2的情形，那可以进一步提问“刚才的问题对我们有没有什么启发？”如果学生联想有困难，教师可以启发学生“公比为2的等比数列的前n项之和是怎么求的？”“它对公比为3的等比数列有没有什么启发？”

问题：在对公比为2的等比数列的前n项求和时，我们采用的是将前n-1项之和加上“1”得到第n项的值，那对公比为3的等比数列能不能也通过加上某个数得到第n项的值呢？如果可以应该加什么数？

设计意图：老师先总结公比为2的等比数列的前n项求和方法，目的是启发学生通过类比去探索公比为3的等比数列的前n项求和方法.

很多同学都说不能，那请一位同学说说你的理由.

设计意图：学生在探索过程中会发现求公比为2的等比数列的前n项和时只要加上“1”就行了，但求公比为3的等比数列的前n项和时对于不同的n需要加不同的值.让学生阐述理由，一方面可以了解学生的真实想法，另一方面可以充分暴露学生思维中的漏洞并针对性地进行启发.

追问：这位同学说公比为2的等比数列有规律，而公比为3的等比数列加的数没有规律. 那你能不能具体说一下这里的规律到底指什么？

设计意图：通过这样的追问让学生认识到他心中的“规律”实际上是加的数是不是固定值.

反问：哦！你说的规律原来是指加的数是固定值. 那如果加的数不是固定值，能不能就说没有规律呢？

问题：既然不能.那我们就需要思考公比是3的等比数列所加的数到底有没有规律？该怎么研究？

设计意图：这一问题在纠正学生错误回答的同时为接下来的研究指明了方向.问题“该怎么研究？”希望学生从n=3开始通过归纳来分析所加项所具有的规律.在这里学生可能只关注所加项随n变化的规律，而不容易想到它与前n-1项之间的关系. 此时，教师先让学生做尝试性探索，待学生碰壁以后再将学生的思维引向正确的方向.

问题：许多同学都想到了归纳方法，那我们一起来观察n分别取1，2，3，4时所加的数到底有什么规律？

1+2=3，

（1+3）+5=9，

（1+3+9）+14=27，

（1+3+9+27）+41=81.

设计意图：通过这样的启发和归纳，学生不难发现所加数与前n-1项之间的关系，即所加数等于前n-1项之和加“1”，从而得到（1+3+9+…+3n-1）×2+1=3n这一结论，变形以后即可得到1+3+9+…+3n-1=.

问题：把这个结论与一开始得到的结论比较一下，看看能不能发现什么规律？

设计意图：由于这两个式子中一个有分母，一个没有分母，而且分母中的2也不容易与公比产生联系，因此要从中找出共同规律对学生还有困难. 解决的办法是再模仿q=3的情形对公比q=4，q=5进行研究.

问题：仅从这两个式子还很难看出它们之间的联系，看来还得再找几个数试试，现在大家再取公比q=4，看看前n项和等于什么？

设计意图：学生有了q=3的探索基础，应该不难得到：

（1+4+16+…+4n-1）×3+1=4n或1+4+16+…+4n-1=.

问题：现在能不能从中发现共同规律？

设计意图：学生经过这三次探索，一般应该能够通过比较猜想出：

（1+q+…+qn-1）（q-1）+1=qn或1+q+…+qn-1=，如果还有困难可以再进一步探索公比q取其他整数的情形.

3. 验证猜想，建构模式

问题：刚才我们通过归纳发现了等比数列的前n项和.

S=a+aq+aq2+…+aqn-1=（为叙述方便，这里直接给出了等比数列求和公式），但这个结论到底是否正确现在还不知道，看看有谁能证明或否定这个结论？

设计意图：等比数列的求和公式有很多种证明方法，蔡东山等人在“HPM视角下的等比数列求和公式教学”一文给出了“等比定律法”“错位相减法”“数学归纳法”“掐头去尾法”“几何推导法”等7种推导方法[5]. 这里提出这一问题，一方面是出于验证猜想的需要;另一方面，则希望通过多种证明方法的探索来培养学生的数学发现能力，提升学生的数学核心素养. 就本设计而言，由于学生已经获得猜想，要证明这一结论并不困难，学生比较容易想到的方法可能是将右边分母中的1-q与左边相乘，然后再与右边的分子进行比较;或将等式左边的分子分母同乘以1-q，然后将分子化简再与右边进行比较. 这里的难点是如何通过教师的启发引导发现其他证明方法，特别是错位相减这一重要方法.

同学们很快就给出了证明方法，很好.同学们都有反思的习惯，大家能不能從刚才的证明中通过反思进一步获得新的发现？

设计意图：错位相减法不仅是本节课的教学重点，而且在今后的解题中也很常用. 很多教师在讲错位相减法时只是简单告知，而很少会解释其来历. 提出这一问题一方面可以自然而然地引出错位相减法，让学生真正理解错位相减法的由来，避免“违反教学理论的颠倒”（弗赖登塔尔语）[6]，另一方面则可以培养学生的反思能力. 如果学生没有思路，教师可以通过“如果我们不知道这一结论，同学们能不能从刚才的证明过程发现等比数列的前n项和”这一问题来启发学生想到通过将等式左边的分子分母同乘以1-q来消去中间项;如果学生发现有困难，教师可以通过“刚才证明过程中采用了什么方法”“这种方法在证明过程中起到什么作用”“这种方法有没有推广价值”等问题启发学生认识到这一方法的本质是把等比数列前n项和S整体乘以1-q消去中间项.

对于错位相减法，教师可以这样来引出：

等比数列前n项和S整体乘以1-q拆开看就是S-qS，为了更直观地帮助大家理解这一方法，老师把他们写成竖式形式：

S=a+aq+aq2+…+aqn-1 ①

qS=aq+aq2+aq3+…+aqn②

①-②得：S-qS=a-aqn.

当q≠1时，两边同除以1-q得：S=.

由于在推导过程中先将原来的等式两边同时乘以q，然后再用原来的等式减去乘以q以后的等式，而在相减的过程中需要“错位”才能相减，因此数学家给这种方法取了一个非常形象的名字“错位相减法”.

至于其他证明方法的探索，一方面需要教师充分调动学生的积极性，另一方面，则需要教师善于启发引导. 比如，对于“掐头去尾法”，教师可以这样启发：“刚才的证明过程中通过两式相减得到S=，还能不能进行其他变形？”“能不能将两式相除？”“如果两式相除会不会有新的发现？”通过这样的启发学生不难发现：

从而解出：S=.

4. 转换模式，深度发现

问题：等差数列的前n项之和S既可以用首项a、公差d和项数n来表示，也可以用首项a、末项a和项数n来表示. 那么，等比数列的前n项之和S是否也可以用首项a、末项a和项数n来表示呢？如果可以，应该怎么表示？

设计意图：模式转换，简单地说就是把一个模式转换为另一个模式.布鲁纳曾经将转换看作是学习的三个重要过程之一（这三个过程依次为获得、转换与评价）;著名数学家波利亚在介绍解题方法时曾有一句名言：“不断地变换你的问题”. 模式转换本质上就是变换问题，通过一再改变问题的叙述和形式，改变观察分析问题的角度，使问题呈现出新的面貌，引发我们新的思考、新的联想，从而使问题获得解答.从方法论角度看，模式转换是化归思想在模式研究过程中的具体运用，它通过各种科学思维方法对数学问题进行转化，将数学问题化生为熟、化繁为简、化难为易，最终达到充分揭示数学问题本质之目的. 模式转换的常见类型有语言转换、句法转换、逻辑转换、方法转换、视角转换等多种形式[7].

这里提出“等比数列求和公式是否可以有其他表征形式”，这一问题不仅可以通过与等差数列求和公式进行类比培养学生的迁移能力，而且可以让学生通过模式转换深化对等比数列求和公式的认识，并进一步提高学生根据不同条件灵活运用公式的能力.

问题：等差数列的前n项之和S有几何解释，那等比数列的前n项之和S有没有几何解释呢？

设计意图：语言转换是模式转换的一种常见形式. 作为数学知识的表征形式，数学语言一般包括文字语言、图形语言和符号语言这三种.而莱什则提出了知识的表征主要有书面符号表征、图形表征、情境表征、操作性表征以及语言表征这五种，在此基础上他进一步提出了这五者之间相互影响的表征系统模型[8]. 通过多种数学语言之间的转换不仅有利于丰富学生对等比数列求和公式的认识，而且有利于提升学生灵活运用公式解决问题的能力. 学生在前面刚刚学过等差数列的求和公式而且知道其几何意义，因此提出这一问题不仅符合学生的认知预期，而且有利于培养学生提出问题的能力. 但等比数列求和公式的几何意义课本上没有出现，这需要教师在课前做足“功课”，以防学生问到以后不知所措.

问题：等比数列从第m项到第n项（n>m）之和等于什么？

设计意图：等比数列从第m项到第n项（n>m）之和是等比数列的前n项之和的推广，虽然推导过程并不困难，但提出这一问题不仅有利于培养学生的探索发现能力，而且有利于学生深化对等比数列求和公式的理解.

5. 归纳发现，精制模式

问题：等比数列的求和方法与等差数列的求和方法有什么异同点？

设计意图：虽然从表面上看，“错位相减法”与“倒序相加法”完全不同，在等比数列求和时不能生搬硬套，但“消去中间项”这一核心思想还是相通的. 因此，在进行等比数列求和时应该类比“倒序相加法”的“魂”而不是“形”，即通过消去中间项来达到求和之目的. 有了这一思想，再联系等比数列的后一项与前一项的比都等于公比q”这一本质特征，就容易理解为什么要通过乘以公比q来进行“错位相减”了.

问题：公式的发现与证明过程中运用了哪些重要数学思想方法？

设计意图：在公式的发现与证明过程中既用到归纳、类比等合情推理思想，还用到模式转换、数形结合、“错位相减法”等多种思想方法. 提出这一问题不仅可以让学生有意识地梳理本节课中的重要数学思想方法，而且可以让学生从数学思想方法的高度来理解等比数列求和公式及相关知识，同时还可以让学生更好地掌握数学思想方法，提升学生的数学素养.

问题：公式有什么特点？公式的使用过程中需要注意什么问题？

设计意图：提出这一问题一方面可以让学生通过抓公式特点来深刻理解公式;另一方面则可以让学生在解决问题过程中能更加准确、灵活地运用公式.

问题：这节课你有什么收获？

设计意图：这样设计一方面可以让学生通过回顾系统梳理本节课的知识要点，促进学生认知结构的优化;另一方面，可以培养学生善于反思、善于总结的习惯. 让学生说出学习后的收获与体会，学生既可以从等比数列求和公式的探索过程中所获得的成就感和喜悦感等方面来阐述，也可以从“错位相减法”的探索过程中感受数学家的所思所想，学会像数学家那样去思考，激发数学研究的积极性. 由此提升学生的发散思维能力，培养学生良好的情感态度价值观并在此基础上进一步提高学生的数学素养.

参考文献：

[1]  史宁中主编. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]  鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3]  约翰·D·布兰斯福特，等. 人是如何学习的[M]. 程可拉等译.上海：华东师大出版社，2003.

[4]  史宁中，王尚志主编. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[5]  蔡东山，等. HPM视角下的等比数列求和公式教学[J]. 数学教学，2019（09）.

[6]  张奠宙主编. 数学教育研究导引[M]. 南京：江苏教育出版社，1998.

[7]  钟志华. 模式观与数学方法论[M]. 北京：化学工业出版社，2010.

[8]  理查德·莱什，等. 数学概念和程序的获得[M]. 孙昌识等译. 济南：山东教育出版社，1991.

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