刘舒畅,王淑娟

(黑龙江大学数学科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

1 引言

本文约定基域F的特征p>2.令域F上向量空间V,连同它的值和分解V=V¯0⊕V¯1称为一个Z2-阶化空间.若v∈Vθ,其中θ∈Z2,则称v为Z2-齐次元素,用|v|表示Z2-齐次元素的次数.为方便,如果符号|v|出现,那么约定v是Z2-齐次元素.若V的一组基为v1,...,vn,则可记为V:=hv1,...,vni.用hg(V)表示Z2-阶化空间V的所有Z2-齐次元素的集合.设L是李超代数,M为L-模.称Z2-齐次线性映射ϕ:L−→M为次数为|ϕ|的齐次导子,如果

令Der(L,M)为L到M的所有Z2-齐次导子张成的向量空间,称该空间中的元素为导子.对于Z2-齐次元素m∈M,令

那么Dm是次数为|m|的Z2-齐次导子.令Ider(L,M)为由{Dm|m∈hg(M)}张成的向量空间,称该空间中的元素为内导子.令h为L¯0的Cartan子代数.设L与M都有关于h的权空间分解:L=⊕γ∈h∗Lγ,M=⊕γ∈h∗Mγ.令

称HomF(L,M)(0)与Der(L,M)(0)中元素分别为关于h的权映射与权导子.那么

这个结论可参见文献[1,Lemma 3.2]或[2,Lemma 2.1].值得注意的是,L到M的一阶上同调

(1.1)与(1.2)得到,计算一阶上同调可以先计算权导子空间.本文目的在于决定Witt型模李超代数W(2)到其Kac模K(λ)的权导子空间,取得下面主要结论,其对刻画W(2)的一阶上同调具有重要意义.

定理1当λ=0时,W(2)到Kac模K(λ)的权导子空间是一维的,否则权导子空间是零维的.

本文研究的W(2)属于Cartan型模李超代数的范畴,具体地说,W(2)是一类Witt型模李超代数.1986年,沈光宇老师对这类代数的阶化模做了研究[4];2007年,刘文德老师和张永正老师对其导子代数做了研究[5];2010年,舒斌老师和张朝文老师对其限制表示做了研究,并且定义了Kac模[6].李超代数的上同调是重要的研究课题,其定义可追溯到D.A.Leites在1975年发表的文章[7].2014年,……