段博韬

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000）

0 引言

数学家对于常宽凸集的研究经历漫长且丰富的历史，并且在医学、机械工程、计算机、建筑、化工、地理等领域具有广泛应用［1-2］. 常宽凸集的概念由欧拉首次提出. 1876年，Reuleaux构造以正三角形三个顶点为圆心，以边长为半径的外接圆弧构成的非圆常宽曲线，后人称之为Reuleaux三角形. 该方法被推广在奇数边正多边形上得到Reuleaux正多边形［3］. 之后，Meissner将Reuleaux三角形推广至三维空间［4］，构造出两种不同的三维常宽凸集. 1915年，Blaschke与Lebesgue分别证明平面上等宽度的常宽凸体中Reuleaux三角形面积最小，这个定理就是著名的Blaschke-Lebesgue定理［5］. 对于这个命题，国内外的数学家们又先后给出其他巧妙的证明［6-8］. 2007 年，Robert 等用数学归纳法给出一种n 维常宽凸集的构造方法［9］.

平面上非圆常宽凸体的例子非常有限. 除比较经典的Reuleaux正多边形，潘生亮利用Minkowski支撑函数得到一类新的光滑的常宽凸集［10］；Martini等利用Reuleaux三角形构造平面中新的常宽凸集［11］；徐文学构造一类新的偶数边常宽凸集［12］.

在这些经典构造的基础上，本文首先使用多次旋转固定长度的线段的作图方法构造一类圆弧构成的平面图形；其次证明这类图形在闭合条件下具有常宽性质；最后，利用线性规划约束条件的基本可行点［13］，求出闭合条件下的全体可行点，并以此推广Reuleaux多边形的构造方法.

1 预备知识

记Rn为带有标准内积的n维欧氏空间，Sn-1为Rn中的单位球面. 点集K ⊂Rn称为凸的，如果对任意x,y ∈K, 连接x,y 的线段[x,y]完全包含于K 内［14］. 若K 为内……