周 童，陈 亮，伍珍香

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000）

0 引言

本文主要讨论非线性方程组

的解的问题，其中F( x ):Rn→Rn是连续可微函数. 由于F(x)是非线性函数，方程组（1）可能会没有解，因此本文假设方程组（1）解集非空并设其为X*.

Levenberg-Marquardt 方法（LM）［1-3］是求解方程组（1）的经典方法之一，LM方法通过如下公式给出搜索方向

其中：Fk=F( xk),Jk=F′( xk),μk≥0. 由于是正定矩阵，因此式（2）有唯一解dk，而且搜索方向dk是优化函数

的下降方向，其中φ( x ):Rn→R. 可以证明由LM方法产生的序列的任意聚点是φ 的稳定点，即

因此如果F′( x*)是非奇异的，则x*是方程组（1）的解. 然而对于收敛性来说，F′( x*)是非奇异这一条件过强，因此本文使用局部误差界这一弱条件代替非奇异. 局部误差界定义如下.

定义1设N 是Rn的子集且X*∩N ≠0，如果存在c ≥0，有

成立，则称‖F( x)‖ 为方程组（1）提供了一个在N 上的局部误差界.

对于式（2）参数μk有不同的选择，如当时，Dennis 等［4］给予证明，当μk=‖F( x )‖时，Fan等［5］证明LM的二阶收敛，同时在皆为局部误差界的条件下，也有一些结果，如当μk=αk‖ Fk‖时，Fan［6］证明了局部二阶收敛；当时，杨柳等［7］证明局部二阶收敛；当（0 ≤θ ≤1）时，Ma［8］证明局部二阶收敛；当时，张华仁等［9］证明局部二阶收敛；当μk=‖ Fk‖2时，Yamashita等［10］很好地证明LM二阶收敛，由于参数的选择使算法的迭代次数过多，因此，本文对参数进行了改进，使其迭代次数减少. 在本文中设

与文献［10］相比，由于考虑了‖ Fk‖的取值情形，使参数总是小于等于1，避免迭代步过大，提高计算效率，数值实验也显示了迭代次数减少.

1 LMM的收敛速率

本节研究LM方法的局部收敛性，公式为

其中dk是线性方程……