李穆寅，曹志远，李佳旭，马佳骏，许寅，刘家妤，张琪祁

(1.北京交通大学电气工程学院，北京市 100044；2.国网上海市电力公司电力科学研究院，上海市 200437)

0 引 言

近年来，由自然灾害、网络攻击等引起的大停电事故频繁发生，提升电网韧性成为学术界和工业界研究的热点[1-2]。协同利用本地多种分布式电源为配电网中关键负荷恢复供电是提升电网应对极端事件能力，减小停电损失的有效手段[3-4]。

供电系统(power distribution system,PDS)和供水系统(water distribution system,WDS)是城市中2个具有密切耦合关系的生命线设施，大停电事故除了会影响用户正常供电外，水泵等供水系统设备断电同样会导致用户供水中断。对于医院、政府、卫生中心等重要灾后应急部门，电、水资源的供给是维持其正常运转的关键。若忽视供电、供水系统之间的耦合关系，配电网故障恢复策略倾向于恢复优先级更高的电力负荷，未考虑供水系统的电力需求，容易导致重要用户供水需求无法被满足。因此，在制定配电网恢复策略时，需要计及配水网的电力需求，提升配电网与配水网的综合恢复效果。

尽管已有不少学者开展了配电网故障恢复策略研究[5-6]，但仅有少量研究考虑电网与水网、气网等其他能源网络之间的耦合关系。文献[7]以最大化医院运行能力为目标，提出了考虑医院与水泵耦合关系的配电网故障恢复方法；文献[8]在此基础上提出了一种计及负荷侧关键基础设施耦合性的配电网恢复优化决策方法，进一步考虑了供气系统恢复情况对医院运行能力的影响。但上述研究均未考虑水网或气网中水、气负荷的恢复情况，忽略了这些能源网络的负荷恢复需求。

配电网与配水网耦合关系的建模方法是建立耦合恢复模型的关键，已有不少学者从调度、运行等层面展开了研究。文献[9]提出了一种配电网-配水网经济调度方法，利用水泵和蓄水池的灵活调节能力提升分布式能源消纳水平；文献[10]将配水网的调节能力量化为电网相连节点的功率调节范围，从而优化电力系统机组组合；文献[11]提出了一种利用水电耦合关系的电网需求侧管理方案。文献[12-13]提出的多能流综合能量管理系统已于广州、成都等多个示范区进行实验验证，这也表明综合考虑属于不同市政领域的城市供水、供电系统方案具有可行性。以上研究均着重于考虑电-水耦合关系优化运行、调度等问题，对大面积停电场景下的故障恢复研究具有一定参考价值，但无法直接应用于恢复优化决策模型。

基于上述研究，本文深入挖掘因极端事件所引发的大面积停电事故中，配电网与配水网间的耦合关系，建立考虑电-水耦合性的故障恢复模型，并利用分段线性化方法将非凸非线性的故障恢复模型转化为混合整数线性规划模型。最后在IEEE 13节点配电网和8节点配水网耦合的算例中验证本文方法的有效性。

1 配电网-配水网耦合系统

极端事件下配电网与配水网的耦合关系如图1所示。水泵为配电网与配水网的主要耦合元件，负荷侧既存在医院这类需要2种资源的负荷，也存在交通信号灯、消防栓等仅需要单独电或水资源的负荷。

图1 配电网与配水网间耦合关系示意图Fig.1 The interdependency between PDS and WDS

在极端事件导致的停电场景下，制定合理的故障恢复方案，考虑用户电、水资源的需求，精准分配有限的发电资源，从而最大化系统综合恢复效果。对于计及供电-供水耦合性的故障恢复问题，本文做出以下假设：

1)配电网部分：配电网与主网断开连接，仅能利用本地分布式电源提供电能，并且已知故障后系统拓扑；

2)配水网部分：假设水库灾后仍然可以为水网提供水资源，配水网拓扑为辐射状(即水流是单向的)；

3)耦合部分：水泵的功率消耗量仅由管段水流量决定[11]，且水泵无自备应急电源。

2 计及耦合关系的恢复模型

本文基于以上假设建立了计及供电-供水系统耦合关系的配电网故障恢复模型，目标函数为最大化加权负荷恢复数目。本文根据负荷的重要程度设置不同的权重系数以对不同负荷恢复优先级进行分类，其中各负荷的优先级设置取决于该负荷节点的断电成本、社会影响等[6,14]。特别地，这里的负荷不仅指电力负荷，也包括水网负荷，而对于存在电、水资源需求的负荷，其2种资源都被满足后才认为被恢复，目标函数如下所示：

maxF=F1+F2+F3

(1)

(2)

(3)

(4)

2.1 配电网约束

配电网约束包括潮流约束和运行约束:

(5)

(6)

(7)

vi-vj=Sij(Zij)*+Zij(Sij)*,∀ij∈εe

(8)

(9)

vi,min≤vi≤vi,max,∀i∈Ne

(10)

式(5)—(8)为潮流约束，本文潮流模型采用文献[15]提出的支路潮流模型的线性近似形式，式(5)为节点功率平衡方程，式(6)和(7)为注入功率定义式，式(8)为相邻节点电压关系，式(9)表示分布式电源出力范围，式(10)表示各节点电压不能越限。

2.2 配水网约束

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

-Wij,max≤Wij≤Wij,max,∀ij∈εw

(16)

hi,min≤hi,∀i∈Nw

(17)

式(11)为配水网节点水流平衡约束，与配电网类似，式(12)表示节点注入流量；式(13)表示相邻节点水头变化，式(14)为Darcy-Weisbach公式，描述管道水头损失；式(15)为水泵扬程。本文中将水泵视为匀速电机，当其正常工作时，可以提升水泵末端节点水头，在水泵不工作时，不允许水从水泵流过。水泵提供的扬程被近似看作是水泵中以水流量为自变量的二次函数，而其二次项系数通常远小于一次项与常数项，因此本文模型中忽略二次项，即水泵提供的扬程与水泵中流量成线性函数关系[11]。式(16)—(17)为配水网安全运行约束。

2.3 耦合约束

耦合约束包括水泵运行约束和两种资源都有需求的特殊负荷恢复约束。

(18)

Re(sk)=-γkPk,pump,∀k∈P

(19)

Qk,pump=φkPk,pump,∀k∈P

(20)

(21)

式中：ρw、gw、ηw和φk分别为水的密度、水的标准重力系数、水泵效率和水泵功率因数；Pij,pump为水泵耗电量；P表示配电网中连接水泵节点的集合；Re(·)为取实部函数；sk为节点k的注入功率；Pk,pump、Qk,pump分别为水泵消耗的有功功率与无功功率。

式(18)是水泵耗电约束，水泵消耗的功率跟水泵中的水流量与水泵提升水头的乘积成正比，同时与水的密度、标准重力系数和水泵效率有关[11]；式(19)—(20)表示配电网水泵节点的注入功率与水流量之间的关系，与负荷节点不同，水泵节点的耗电量是一个连续变量；式(21)表示对于特殊负荷，当其在配电网与配水网中均被恢复时，才认为该负荷被恢复。

至此，本节将计及供电-供水系统耦合关系的配电网故障恢复问题构造为一个混合整数非线性规划(mixed-integer non-linear program, MINLP)模型。利用多种线性近似方法将MINLP模型转化为MILP模型，并利用成熟的优化求解器快速求解是解决该问题的有效手段之一。

3 模型线性化方法

在本文模型中，除了式(14)、(15)、(18)和(19)外均为线性约束，通过大M法和分段线性化方法将这些约束进行线性化，从而建立MILP模型。

3.1 大M法

式(15)为含有条件判断的约束，式(19)是一个整数变量与一个连续变量的乘积，均可以利用大M法将这些约束等效转化为线性约束。

-M(1-γk)-(a1Wij+a0)≤Δhij≤

M(1-γk)+(a1Wij+a0)，

(22)

(23)

(24)

(25)

3.2 分段线性化方法

式(14)、(18)为二次约束，本文利用分段线性化方法对这2个约束进行线性近似。以水泵耗电约束式(18)为例进行说明，分段线性近似方法如图2所示[10]。

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

图2 分段线性化方法Fig.2 Piecewise linearization method

综上所述，通过大M法和分段线性化法方法将模型中非线性约束转化为线性约束，从而将MINLP模型转化为MILP模型，可通过现有成熟优化求解器求解。求解流程如图3所示。

图3 算法流程图Fig.3 Algorithm flowchart

将算例节点、支路、负荷等信息作为输入，利用CVX优化工具包进行建模[16]，再利用MOSEK优化求解器求解，最后与相同环境下未考虑耦合模型的水-电网故障恢复模型进行对比验证。其中，MOSEK优化求解器为基于内点法开发的可用于大型线性规划问题求解的商用优化求解器[17]。

4 算例测试

本文算例测试基于MATLAB 2018b版本，测试环境为2.80 GHz, 16 GB RAM, Inter Core i7 CPU。

4.1 13节点配电网和8节点配水网耦合算例

本文利用IEEE-13节点标准算例[18]与改进的U-Smart配水网算例[19]的电-水耦合网络进行验证，假设极端事件发生后配电网与主网断开连接，配电网、配水网负荷全部断开，极端事件发生后耦合系统拓扑如图4所示。

图4 配电网与配水网拓扑图Fig.4 Topology of the PDS and WDS

本文将系统中的负荷根据重要程度分为3个等级：一级负荷、二级负荷和普通负荷，权重分别为 1 000、100、10。其中对于电水资源都有需求的特殊负荷，其电负荷位于配电网中671节点，水负荷位于配水网中8节点，在配电网与配水网中均认为是一级负荷，水泵位于646节点。配电网中共设立3个分布式电源G1、G2、G3，分别位于645、611、675节点处，其有功容量和为1 890 kW。配水网中，节点1为水库节点，水泵位于管段2-3处，由该管段相关参数计算得水泵运行参数a1=185，a0=223.32[20]。

同时为验证本文所提模型的有效性，本文还与未考虑水、电网耦合性的故障恢复模型求解结果进行对比[21]，即配电网、配水网解耦的故障恢复模型。在解耦的配电网故障恢复模型中，目标函数仍为最大加权电负荷恢复数目，水泵被视为一级负荷。通过求解模型可以获得配电网中负荷和水泵的恢复结果。在解耦的配水网故障恢复模型中，目标函数为最大加权水负荷恢复数目，若水泵被恢复，水泵运行时耗电量不能超过其额定功率，若水泵未被恢复，没有水流流过水泵。配电网中671节点和配水网8节点仍为特殊负荷，若不能同时满足其电、水需求则认为该负荷未被恢复。

4.2 测试结果与对比分析

本文所提模型目标函数为2 820，其中电网恢复了1个一级负荷、5个二级负荷和1个普通负荷，恢复负荷权重之和为1 510。水网中恢复3个二级负荷和1个普通负荷，恢复负荷权重之和为310。电水网耦合的特殊负荷也被恢复，权重为1 000。恢复结果如图5所示。此时所有分布式电源均满载运行，水泵有功功率消耗占分布式电源总有功出力的25.6%。

在解耦模型中，负荷恢复权重之和为2 540，其中配电网为1 200，配水网为340，特殊耦合负荷为1 000。配电网中，全部的一级负荷和2个二级负荷被恢复，无普通负荷恢复；配水网中，所有负荷全部恢复。

图5 耦合模型恢复结果Fig.5 Restoration result according to coupling model

在解耦模型中，由于水泵需要达到额定功率才认为被恢复，且水泵是一级负荷，导致较多功率被用于恢复水泵，配电网中大量二级、普通负荷未被恢复。水网负荷全部被恢复，但水泵的功率消耗小于其额定功率，造成了有限发电资源的浪费。2种模型的具体恢复结果如表1所示。

表1 两种模型恢复结果Table 1 Restoration result of two methods

由表1可得，耦合模型可以恢复更多的重要负荷，在考虑耦合性的恢复模型中，配电网的电能分配能够同时考虑到配电网和配水网中关键负荷恢复需要的电力资源，分配给水泵的电能不需要达到其额定值；在解耦模型中，配电网故障恢复策略的制定无法综合考虑配电网和配水网关键负荷的恢复情况，水泵只有未被恢复和完全恢复2种状态，使得配电网的关键负荷恢复效果受到影响。此外，对比2种模型，解耦模型目标函数小于耦合模型，证明了在制定配电网恢复策略时需要考虑电、水系统之间的耦合性。

4.3 分布式电源容量影响

为了进一步验证所提出的耦合恢复模型的有效性，本文设置了10个场景进行算例测试，不同场景的分布式电源容量之和从负荷额定功率之和的10%逐步增加到100%，每次增加的总容量为负荷额定功率之和的10%，以此来模拟大停电事故下，分布式电源容量极为匮乏、相对有限和较为充足的不同情况。配电网与供水网的耦合恢复模型与相互独立的解耦恢复模型的恢复结果对比如图6所示。水泵消耗的功率对比结果如图7所示。

图6 不同场景下两种模型目标函数值对比Fig.6 Comparison of objective function value between two models under different scenarios

图7 水泵功率消耗对比Fig.7 Comparison of pump power consumption

从图6中可以看出，在分布式电源容量低于总负荷需求的70%场景中，耦合模型总能恢复更多重要的负荷。当分布式电源容量充足的时候，耦合模型与解耦模型的恢复负荷数量近乎相同，而随着分布式电源容量逐渐减少至极为缺乏的时候，耦合模型与解耦模型的恢复能力差距愈发变大。其中相较耦合模型，解耦模型中对水泵的恢复需要达到其额定值，消耗大量功率，在分布式电源容量不足时，会极大影响电网的恢复情况，使得电网中的重要负荷得不到及时恢复，而当分布式电源容量趋于匮乏的时候，水泵将不再工作，水网的恢复负荷权重和也大大降低，此时城市运行能力已严重下降。而在耦合模型中，可通过平衡配电网与供水网的电力需求，使分布式电源容量不足带来的影响最小化，电、水网面对极端情况的恢复能力更强。

5 结 论

本文提出了一种计及供电-供水系统耦合关系的配电网故障恢复优化决策方法，通过水泵考虑了配水网负荷恢复的电力需求，利用大M法与分段线性化方法将模型转化为MILP模型，可通过现有优化求解器求解，并利用IEEE-13节点配电网与8节点配水网耦合算例验证了所提方法的有效性。算例结果表明考虑供电-供水系统耦合性的配电网故障恢复模型能够恢复更多关键负荷，实现有限发电资源在电力负荷与耦合元件之间的最优分配。

本文着重于挖掘电-水网耦合关系并围绕其研究配电网故障恢复策略，对基础设施运行成本、经济效益、社会影响程度的因素考虑较为简单。在后续研究中，将逐步完善模型目标函数，补充负荷损失所带来的经济、社会代价。并对水泵进行深度建模，考虑水泵转速变化及水泵自备应急电源的影响。