管景强

[摘 要]“天平砝码称重问题”除了可以运用尝试列举法分析解决外，还可以引入二进制和三进制来解决。根据天平单边放砝码称重和两边放砝码称重两种不同情况，将所要称出的质量转化为相应的二进制数和三进制数的位权展开式，通过分析位权展开式中的位权个数及每一位的位权，就可以明确砝码的具体摆法，得出最少需要砝码的个数及砝码的质量。

[关键词]天平;砝码称重;二进制;三进制;位权展开式

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）05-0028-02

解决“天平砝码称重问题”时，可以采用尝试列举法来得出所需砝码的质量。实际上，我们还可以从砝码的摆法入手，引入二进制和三进制来迅速解决问题。

一、天平单边放砝码称重

【例1】在天平左边放砝码，右边放物体称质量，最少应该准备几个砝码，就能称出1克到15克的所有整克数的质量？这几个砝码分别是多少克？

我们可以从称1克的物体入手，列表分析：

由上表可以知道，最少应该准备4个砝码，分别是1克、2克、4克、8克的各1个。到这里，善于思考的学生可能会有两个疑问：1.称1克到15克的质量为什么最少需要4个砝码？2.所需砝码的质量为什么均形如[2n]克？如1克、2克、4克、8克，分别对应[20]克、[21]克、[22]克、[23]克。下面就从砝码的摆法来讨论。

1.称1克到15克的质量为什么最少需要4个砝码？

对于砝码 a1来说，由于只能放在天平的一边，所以只有放在盘中与放在盘外两种不同摆法（如下图）。当砝码a1放在盘中时，砝码a1参与称重，可以称出砝码a1本身的质量;当砝码a1放在盘外时，砝码a1不参与称重，称出的质量可以看成0克。……