刘柳如

[摘   要]文章以2019年高考全国Ⅰ卷第21题为例，阐述如何读取函数图像中的信息解决物理问题，并总结在高三物理教学中学生面对函数图像类题目时，需要关注的三种思维方法：极限思维法、构建函数法、类比迁移法。

[关键词]函数图像;截距;斜率;面积

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）08-0054-03

函数图像在物理学习中被广泛应用，2017年版课程标准对用函数图像描述物理过程和物理关系有明确的要求。如必修1机械运动与物理模型中“1.1.3通过实验探究匀变速直线运动的特点，能用公式、图像等方法描述匀变速直线运动”。又如“在科学探究过程中，学生要提升表达能力，表达的形式包括文字、表格、图像、公式、插图等”。同时读函数图像的能力也是高考必考的能力。纵观历年高考，每年都会有函数图像的题目，如2019年高考全国Ⅰ卷第20、21、25题，2018年高考全国Ⅰ卷第15、23、33题。本文以2019年全国Ⅰ卷第21题为例，阐述如何读取函数图像中的信息解决问题，并总结出在高三物理复习中如何开展函数图像题的复习教学。

一、从典例中归纳方法

[例1]（2019年全国Ⅰ卷第21题）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图1中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图1中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（      ）。

A. M与N的密度相等

B. Q的质量是P的3倍

C. Q下落过程中的最大动能是P的4倍

D. Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

（一）试题分析

1.本题难点：学生一看到这个平时没接触过的图像题就觉得无从下手，不知道这个图像提供了什么解题的信息。看到已知纵横坐标的交点也不知道这交点的物理意义，不能很好地把图和题文描述的物理过程联系在一起分析。更不能很好地利用图形与x轴围成的面积简化解题过程。

2.命题立意：本题考查了学生对万有引力、重力加速度、牛顿定律、弹力做功、弹性势能等知识的综合运用能力。本题设置的情景新颖，是万有引力的一种区别于以往高考题的新考法。不仅考查了学生对知识掌握的熟练程度，还考查了学生读函数图像的能力及应用数学知识处理物理问题的能力。

（二）解题的关键

1.弄清图线交点的物理意义，找出解题突破口

抓住图线与坐标轴交点，找出其物理意义。

先读纵轴截距，纵轴截距是当x为零时，即弹簧压缩量为零时（亦即物体刚放上去还没向下运动时）的加速度值。再根据题目描述的情景，两物体都是只受重力作用，即可根据牛顿定律列出下面两个等式：

二、对函数图像问题进行复习教学的思考

高考题中与函数图像有关的题目，有些是考查学生能否读懂函数图像的纵横轴截距、斜率、面积的物理意义，要求学生能从图中求出解题需要的某些物理量;有些是考查学生能否根据题目描述的物理情境，画出或选择出相关的物理量之间的关系图;有些更难一点，是考查学生能否利用函数图像法简化解题过程。在高三物理复习教学中，教师可以给学生总结下面三种解决函数图像问题的方法，并让学生熟练掌握。下面详细叙述在教学中怎样才能让学生熟练应用这三种方法突破函数图像题的难点。

（一）极限思维法——快速确定图像截距的物理意义

图线上的点通常是某个状态下两个物理量的值，与纵横坐标轴的交点通常是当一个物理量处于一种极限状态下另一个物理量的值，对分析运动过程和受力过程有关键作用，读懂这两个值的物理意义通常是解题的关键。

例如，在做探究物体的加速度与所受合外力的关系实验时，有时学生会描出这样的图像，如图2所示。

这时教师要问学生为什么会出现图线不过原点的情况，并引导学生以截距的物理意义为切入点思考问题。图2中左图横轴截距是当加速度为零时合外力的值，即有一定合外力时，加速度却为零。结合实验操作，我们记录的力是细绳的拉力，有拉力没有加速度，说明存在摩擦力，即轨道一端垫得不够高，没有完全平衡掉摩擦力。而图2中右图纵轴截距是当力为零时的加速度值，即没有力却有加速度，说明平衡摩擦力时轨道垫得过高。

又如，光电效应实验中，得出来的最大初动能和入射光频率的关系图，如图3所示。

教师可要求学生用“当一个物理量为零时，另一个物理量的值”这样的极限思维去寻找这个截距的物理意义。图3中横轴截距就是当出来的光电子最大初动能为零时的入射光频，也即极限频。

（二）构建函数式——精准描绘函数图像

如果说直接找纵横坐标截距物理意义的方法只能用在一些比较好分析的情况，那么对于大多数情况，我们可以用列函数表达式的方法找截距和斜率的意義，或描绘出物理量间的函数关系图。在实际教学中，发现很多学生知道要列函数表达式，但怎样列式对他们来说是一个难点。对此，教师可以这样引导学生思考：（1）函数图像是在什么物理情景下作出来的？是用来描述力的作用过程，还是运动过程（抑或是其他）？这是思考的大方向。一种大方向对应着这个方向下的一些定理、定律、公式。（2）看纵横坐标的物理量，找出在这个方向下包含有这两个物理量或其中一个物理量的一些公式、定理。以这个公式或定理为原始式子，再结合题目的具体情况对式子进行细化，让等式包含这两个物理量。（3）把纵坐标的物理量移项到等式的一边，其余的量移项到另一边。再对比一次函数式或二次函数式，得出截距和斜率的物理意义。可简单总结为6步：①确定知识大方向;②观察纵横坐标的物理量;③确定原始式子;④根据题目意思细化式子;⑤移项;⑥与一次函数或二次函数对比。

[例2]（2018年全国Ⅰ卷第15题） 如图4，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态，现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动，以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是（）。

在高考中，如遇上述图像，学生就可以快速简便地运用这些平时总结出来的方法解题，可大大节省解题时间。

[   参   考   文   献   ]

[1]  崔伟健.高中物理图像中“面积”的意义和应用[J]. 物理之友，2018（8）： 43-45.

[2]  秦绪健.浅析高中物理图像中斜率的意义及应用[J]. 课程教育研究，2018（20）：156.

[3]  刘磊.函数图像法在高中物理教学中的应用研究[D].上海：上海师范大学，2013.

（责任编辑 易志毅）