王鹤蓉，关焕新，郭祎珅，杨 柏，吴 迪

（1.沈阳工程学院，辽宁 沈阳 110136；2.国网锦州供电公司，辽宁 锦州 121000；3.国网张掖供电公司，甘肃 张掖 734000；4.国网朝阳供电公司，辽宁 朝阳 122000）

0 引言

近年来，在电力电子技术的广泛应用下，非线性负载逐渐增多，随之产生大量谐波，不仅影响智能变电站和换流站中某些设备运行，更有可能危及电力系统的安全。为减少谐波产生的危害，提高谐波检测中各项参数的准确度成为重要的研究内容。目前，国内外针对谐波检测研究的方法有快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）［1］、瞬时无功功率［2］、小波变换［3］、人工神经网络［4］等。其中，快速傅里叶变换（FFT）谐波检测法被广泛应用，但信号一般很难做到同步采样，采用此方法时会产生频谱泄漏和栅栏效应，给谐波检测造成误差。通过对信号加窗函数的方法能改善频谱泄漏造成的误差，谱线插值算法能减少栅栏效应产生的误差［5］。常用的窗函数有矩形窗［6］、海明窗［7］、Hanning 窗［8］、Kaiser 窗［9］、Blackman 窗［10］、Nuttall 窗［11］等。不同窗函数的特性决定频谱泄漏的改善效果。一般而言，主瓣窄而旁瓣衰减速率快的窗函数能够有效地抑制频谱泄漏的问题，文献［12］提出了用若干个卷积窗的卷积运算构造出一类新的窗函数并称其为卷积窗，文献［13］通过分析凯塞窗函数的主瓣与旁瓣衰减可自由选择的特性，提出了凯塞窗插值FFT 方法。但就单一的窗函数来说，主瓣较窄的窗函数往往旁瓣特性较差。文献［14-16］分别提出了Hanning 自卷积窗算法、Nuttall 自卷积窗算法和Rife-Vincent 自卷积窗算法。虽然这些自卷积型的窗函数比经典的单一窗函数抑制频谱泄漏更好，但窗函数多阶卷积运算也会造成计算量大的问题，影响了谐波检测的精确度。为更好地抑制频谱泄漏的问题，文献［17］提出用Hanning窗和Nuttall 窗进行卷积，利用两种窗函数的特性构造一种新型窗函数称为混合卷积窗，但其并未考虑选取特性较好的窗函数。文献［18］提出一种由矩形窗和余弦窗的L阶混合卷积窗，但选用了双谱线插值算法，文献［19］在文献［17］的基础上将混合卷积窗再进行L阶自卷积的双谱线插值算法，并不能更好地抑制栅栏效应的问题。

考虑到Kaiser 窗能够灵活自由地调节主瓣宽度与旁瓣衰减速率之间的比重，且不受旁瓣性能制约，Hanning 窗是最常用的一种主瓣宽度较窄的余弦窗，将二者进行卷积运算构件一种频谱特性优良的混合卷积窗，并采用加三谱线插值算法，运用多项式拟合得到修正公式。经过经典信号和复杂信号的仿真分析对比，验证了此混合卷积窗的有效性和谐波检测的准确性。

1 混合卷积窗

1.1 Hanning窗

Hanning 窗又称升余弦窗，是一种常用窗函数，其时域表达式为

式中：N为总采样点数；n为阶数，n=1，2，…，N-1。

Hanning窗的频域特性如图1所示。

图1 Hanning窗频域特性

1.2 Kaiser窗

Kaiser 窗函数由零阶Bessel 函数构成，其特点是可以灵活自由地调节主瓣与旁瓣之间的比重，频带内主要能量集中在主瓣中，其时域表达式为

式中：I0为 第1 类零阶Bessel 函数；n的范围为；β为Kaiser窗函数中可调的形状参数，可自由调节主瓣与旁瓣之间的比重，由式（3）确定。

式中：α为Kaiser窗函数中主瓣与旁瓣的差值。

Kaiser窗的频域表达式为

式中：w为表达式自变量。

若将式（4）中的频域信号平移(N-1)∕2 个单位，使其满足在［0，N-1］的范围内，则

由图2可以看出，不同的β值所对应的频域特性曲线各不相同。当β=0 时，Kaiser 窗变为常规矩形窗，其旁瓣衰减速率为6 dB∕oct，旁瓣峰值为-13 dB；当β=4 时，其旁瓣衰减速率为7 dB∕oct，旁瓣峰值为-30 dB；当β=8 时，其旁瓣衰减速率为12 dB∕oct，旁瓣峰值为-58 dB；当β=11 时，其旁瓣衰减速率为18 dB∕oct，旁瓣峰值为-82 dB。由此可见，随着β值增大，旁瓣衰减速率不断增加，但β过大会增加计算量，因此此处选择β值为18。

图2 Kaiser窗频域特性

1.3 混合卷积窗—Hanning&Kaiser

所构建的混合卷积窗Hanning &Kaiser 的谐波检测方法是将Hanning 窗函数与Kaiser 窗函数运用卷积运算的方法，组成一个新的混合型卷积窗函数［20］。混合卷积窗函数的表达式为

利用各个窗函数的表达式可在MATLAB 软件中将各窗函数的幅频特性图表示出来并进行比较。混合卷积窗Hanning &Kaiser、Hanning 窗和Kaiser 窗的幅频特性对比如图3 所示，其中窗函数阶数n=128，β=18。

图3 三类窗函数频谱特性对比

由图3 可看出，从横向角度上，混合卷积窗Hanning&Kaiser 的主瓣宽度比Hanning 窗和Kaiser 窗窄许多；从斜率角度上，混合卷积窗Hanning&Kaiser的旁瓣衰减速率要比单一的Hanning窗和Kaiser窗更快。

2 混合卷积窗的三谱线插值算法

对单一信号x(t)进行采样，其中采样频率为fs，基频为f0，幅值为A，相角为φ，采样后得到的离散信号x(n)进行加窗后的离散傅里叶表达式为［21］

由于非同步采样会产生栅栏效应［22］，在实际的信号采样中，导致kp不是整数［23］。为抑制此问题的产生，选用三谱线插值法进行修正。设目标频点kp附近的最大谱线为km，其左谱线和右谱线分别为km-1、km+1，则有β=k-km，其范围为-0.5＜β＜0.5。

令X为x的离散信号，则3 条谱线的幅值分别为y1=|X(km-1)|、y2=|X(km)|、y3=|X(km+1)|，可得：

通过式（7）和式（8）得出

式中：γ=f(β)，其反函数为β=f-1(γ)，通过多项式拟合逼近的方法得到逼近式：

式中：a1，…，a2l-1和c0，…，c2l为常数。

运用MATLABR2018a中的多项式拟合函数可求出β和h（β），即可得到频率、幅值和相位的修正公式［17］。其中，混合卷加窗的插值修正公式为

3 仿真分析对比

3.1 经典信号的仿真分析

为验证仿真的有效性，采用典型的包含21 次谐波的复杂信号模型［24-25］，如式（12）所示。

式中：基频f0=50.1Hz；采样频率fs=5 120 Hz；截取信号的长度为1 024、Ai、φi为第i次谐波的幅值和相角。具体参数如表1所示。

表1 选取信号参数值

分别用快速傅里叶变换加Hanning 窗三谱线插值、加Kaiser 窗三谱线插值以及混合卷积窗Hanning&Kaiser三谱线插值对复杂信号进行仿真分析，得出3种方法仿真结果如图4—图6所示。

图4 3种方法的幅值相对误差对比

图5 3种方法的频率相对误差对比

图6 3种方法的相位相对误差对比

通过对比3 种方法的幅值、相位、频率的相对误差，可得出Hanning&Kaiser 混合卷积窗三谱线插值方法精度较单一的窗函数三谱线插值法的精度高很多，与其他两种方法的精度相差2～3个数量级。

3.2 混合卷积窗信号分析对比

针对混合卷积窗的谐波信号分析，以9 次谐波信号为研究对象进行仿真，其模型如式（13）所示，具体仿真信号的参数见表2［26］。

式中：f0为50.1 Hz，fs为1 500 Hz。

表2 仿真信号谐波参数

选用Hanning&Blackman 混合卷积窗与混合卷积窗Hanning &Kaiser 的方法对上述信号进行仿真分析。混合卷积窗窗长为256，均采用三谱线插值算法。仿真分析结果的相对误差对比值见表3—表4。

对比Hanning&Kaiser 算法与Hann &Blackman混合卷积窗的幅值、相位的相对误差结果，可知所构建的混合卷积窗较Hanning&Blackman 混合卷积窗的精确度都有所提高。由此可进一步地得出所构建的Hanning &Kaiser 混合卷积的窗函数加三谱线插值算法能够进一步抑制频谱泄漏和栅栏效应的问题，提高快速傅里叶变换谐波检测方法的精确度。

表3 幅值相对误差对比

表4 相位相对误差对比

4 结语

为抑制快速傅里叶变换产生的频谱泄漏和栅栏效应的问题，根据不同窗函数的特点，将具有主瓣宽度较窄的Hanning 窗函数和能够灵活调节主旁瓣之间比重的Kaiser 窗函数运用卷积运算的方法组成一种新的混合卷积窗函数来抑制频谱泄漏，并采用三谱线插值算法，通过多项式拟合函数求出修正公式，防止栅栏效应，并用于谐波检测分析。

通过仿真结果对比分析，构建的基于Hanning&Kaiser 窗的混合卷积窗三谱线插值快速傅里叶变换算法与单一的窗函数和其他混合卷积窗三谱线插值法相比，所得到的各次谐波的幅值、相位、频率相对误差较小，提高了谐波检测的准确性并验证了此方法的有效性。