李泽宇，王晓磊，张世彪，石淼岩

（1.山东大学电气工程学院，山东 济南 250061；2.华能山东发电有限公司，山东 济南 250014；3.国网山东省电力公司淄博供电公司，山东 淄博 255000）

0 引言

随着世界各国对能源安全和环境污染问题的关注，新能源汽车成为汽车行业的重要发展方向［1］。动力电池作为电动汽车的主要动力来源，决定了汽车的续航里程、加速性能及制动能量回收率都等关键指标，在电动汽车中占据核心地位。与此同时，电池储能系统在电网中的示范应用也逐渐增加，成为支撑可再生能源消纳和电网调节灵活性提升的重要手段。在多种电池技术中，锂离子电池因其能量和功率密度高、循环寿命长、自放电率低等优点，成为动力电池和电网储能电池的主流选择［2-3］。

与传统铅酸电池相比，锂离子电池价格更高，且使用寿命易受过充过放影响，需要采用电池管理系统（Battery Management System，BMS）实时监控和保护，确保电池的安全稳定运行［4］。然而，电池充放电是一个复杂的电化学过程，如荷电状态（State of Charge，SOC）、健康状态（State of Health，SOH）和功率状态（State of Power，SOP）等基本电池状态无法直接测量，需要利用电池模型和运行工况数据实时估算。因此，建立反映电池动态特性的电池等效模型是BMS的基础，也是实现锂离子电池安全、稳定和优化运行的关键［5］。

为描述电池充放电动态过程特性，现有研究已提出多种建模方法和参数识别方法。常用的电池模型包括电化学模型、热模型、等效电路模型和黑匣子模型等，其中等效电路模型具有较高建模精度，计算量适中而易于实现，且容易进行参数识别，在BMS中应用最为广泛［6］。目前，人们已提出Rint 模型、一阶RC模型、PNGV 模型、GNL 模型等多种等效电路形式［7-10］。文献［11］进一步对比了Rint 模型、PNGV 模型和一阶RC模型的建模精度，认为增加电池等效电路模型中RC环节的个数，可以反映更多的电池动态，进而提升建模精度。然而，增加RC环节会同时增加计算复杂度，提升BMS应用要求，还会提高模型参数识别难度。鉴于此，文献［12］推荐使用二阶RC等效电路模型，进而平衡计算复杂度与模型精度，并被广泛应用于电池建模及SOC估算研究中［13-15］。

模型参数识别是影响模型精度的另一个关键。目前，常用的电池模型参数识别方法包括离线识别与在线识别两大类。离线识别方法基于曲线拟合原理，以端电压拟合误差最小为目标计算等值电路参数，通常假定在一次识别过程中电池模型参数不变，进而基于多次试验数据建立参数表，而在实际使用电池模型时通过插值获取当前状态下模型参数。离线参数识对单次试验数据拟合度较高，但电池运行温度变化或同批电池参数差别明显时，其识别参数的普适性显著下降，进而影响电池状态估计结果。如文献［16-17］研究表明：随着电池温度降低，其内阻会增加而容量会减小；文献［18］研究也表明电池荷电状态和开路电压曲线会受到温度影响。在线参数辨识是应对上述问题的重要手段，目前应用最广泛的是基于最小二乘法（Least Squares，LS）的在线参数识别，该方法既可以用于线性系统也可用于非线性系统，具有更好的适应能力；但其所需数据多，计算量较大，仍有较大性能提升空间。

鉴于上述问题，提出采用递推最小二乘法（Recursive Least Squares，RLS）实现电池等效电路模型参数在线辨识的方法。该方法实时拟合电池电压、电流数据，自动适应温度及运行工况对电池参数的影响，可提高所识别参数精度和适应性；同时该算法在每次观测数据更新时即可执行一次参数辨识，所需数据和计算量均较小，实现更为方便。首先，构建了电池一阶RC和二阶RC等效电路模型，推导了其状态空间表达式；然后，阐述基于RLS 的在线参数识别原理和用于电池参数识别的过程；最后，基于混合脉冲功率性能测试（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）试验数据，分别对两种电池模型下的参数进行在线参数辨识，并分析各自模型误差，验证所提方法的有效性。

1 锂离子电池等效电路模型

等效电路模型由理想电路元件（电阻、电容、可控电压源等）构成，采用线性变参数方法模拟电池非线性工作特性，精度比电化学模型稍差，但计算量适中，符合实时系统应用要求。考虑到模型精度和复杂度，本文基于一阶RC模型和二阶RC模型展开研究。

1.1 一阶RC等效电路模型

一阶RC模型以内阻模型为基础，加入由电容和电阻组成的极化回路，模拟了电池充放电过程中正负极板处电荷积累及扩散过程（即极化过程）所表现出的动态特性。该模型结构简单，较为准确地描述了电池端电压随充电电流∕放电电流快速和缓慢变化分量。图1给出了一阶RC等效电路结构，图中uOCV为电池的开路电压，r为欧姆内阻，rp为极化电阻，Cp为极化电容，uc为电池的端电压，ic为充电电流。

通常，开路电压uOCV与电池SOC 及电池类型（如三元锂离子电池、磷酸铁锂电池）有关，反映了电池正负极材料电势差；欧姆内阻与电极集流体电阻及接触电阻有关，反映了端电压中与电流同步变化的分量；极化电阻和极化电容反映了电池的极化特性，对应着端电压中随电流变化积分变化的部分。假定电池充电为电流正方向，基于图1 及电路原理知识，可列写出一阶RC等效电路模型的状态空间表达式为

式中：s为电池SOC；up为极化电压，表征了RC回路极化程度；Ceff为库仑效率，反映了电池充电过程中的电荷损耗，通常在0.99 左右；CA为电池的容量；fSOC-OCV(s)为锂电池开路电压关于其SOC 的函数，反映了电池uOCV与SOC的对应关系。

图1 一阶RC等效电路模型

1.2 二阶RC等效电路模型

在一阶RC电池模型基础上，进一步增加RC环节，进而采用两个RC环节描述时间常数较小的电化学极化和时间常数较大的浓差极化可以获得更好的建模精度。二阶RC等效电路结构与图1 相近，相似过程可推得等效电路状态空间表达如式（2）所示。

式中：rp1与rp2为极化电阻；Cp1和Cp2为极化电容；up1和up2为快慢动态极化回路的极化电压。

2 基于RLS的参数在线辨识

2.1 问题描述

一阶RC及二阶RC模型中的参数主要包括CA、Ceff、r、rp、rp1、rp2、Cp、Cp1和Cp2，通常电池容量CA和库伦效率Ceff可通过容量测试试验测定，并认为在单次充放电过程中保持不变；而欧姆内阻和极化阻容可能受SOC、温度及充放电倍率等运行条件影响，需要实时辨识以提高精度，因此主要研究电路元件参数辨识问题。

电池等效电路模型可看作一个以充电电流ic为输入、以电池端电压uc为输出的单输入单输出系统。以一阶RC等效电路模型为例，其传递函数为

传递函数表达式中包含了电路元件参数，因此电池模型元件参数问题可转化为传递函数H（s）的识别问题。实际识别时，参数识别基于等时间间隔测量的电压电流数据点实施，故识别对象为离散域传递函数

离散域传递函数对应的时域一般表达式为

式中：b1，b2，…，bn为输入值充放电电流ic的系数；a1，a2，…，an为输出值端电压uc的系数。

实际上，由于存在模型误差及测量误差，上式无法严格成立，输出变量递推计算值与测量值必然存在拟合误差，记为

参数识别问题即为寻找最优参数ai，bi（i=1，…，n）使拟合误差平方和最小，即

2.2 最小二乘法及其递推实现

上述优化问题可采用最小二乘法对上述优化问题进行求解。对于式（5）所示系统，列写m（m＞n）个测量数据的递推方程，并写成矩阵形式有

式中：Φ为参数矩阵；θ为待估参数列向量；e为观测值与计算值之间的误差向量。

其中，

此时，式（7）的目标函数可写为

使J取到最值的最优参数估计为

使用上式计算参数估计值需要累计m个数据，而实际数据是逐个增加的，因此可采用递推形式实现。计算步骤如下：

2）根据新增测量数据使用式（13）更新参数估计值；

其中，

2.3 等效电路模型参数辨识

当采用一阶RC模型时，式（5）具体化为

式中：T为数据采样间隔；ud为欧姆电压与极化电压之和，可通过式（17）求解。

待识别参数具体化为θ=[k1k2k3]T，其中

基于RLS递推估计参数列向量θ，利用式（18）反变换即可求得电路参数r、rp、Cp。

当采用二阶RC等效电路模型时，式（5）具体化为

与一阶RC模型相同，此时仍然先基于RLS 递推估计参数θ，然后利用识别参数与电路元件参数对应关系，反变换求得电路参数rp1、rp2与Cp1、Cp2。

3 算例

为验证基于RLS 在线参数识别效果，首先采用电池充放电测试仪开展充放电测试，随后将试验数据导入MATLAB 软件执行RLS 参数识别算法，并基于识别参数计算电池模型端电压拟合值，最后通过对比模型电压与试验测量电压差异检验参数识别效果。上述试验及数据处理过程如图2所示。

算例同时对磷酸铁锂锂离子电池和三元锂离子电池两种类型电芯进行HPPC 充放电试验，并分别采用一阶RC模型和二阶RC模型进行拟合。两种电芯的参数拟合结果和拟合电压误差如图3—图6 所示。

综合图4 和图6，可计算使用两种等效电路模型分别建模两种类型电芯时，拟合电压误差的均方根与最大值，计算结果如表1和表2所示。

综合表1、表2 与图4、图6 可知：1）对于两种类型电芯，基于RLS 的参数识别结果均能很好地拟合电芯充放电特性，拟合电压误差方均根在10 mV 以内，误差均方根分别约为电池端电压的0.24%和0.11%；2）采用二阶RC模型能一定程度上提高模型拟合精度，对于磷酸铁锂电芯，拟合误差约降低了4.6%，而对于三元锂离子电芯，拟合误差降低了不到1%。图3 中参数辨识结果表明，磷酸铁锂电芯的极化动态既可以用一个RC环节描述，也可以用两个时间常数更大及更小的RC环节表示，且后者对电流突变时的动态拟合更加精确；图5 中参数拟合结果则说明，对于三元锂离子电芯，极化动态用一个RC环节描述已十分精确，使用两个RC环节会可能会导致一定程度的过拟合现象，对模型精度的提升作用有限。

图2 试验及数据处理过程

图3 磷酸铁锂锂离子电池模型参数辨识结果

图4 磷酸铁锂锂离子电池不同模型拟合电压误差

图5 三元锂离子电池模型参数辨识结果

图6 三元锂离子电池不同模型拟合电压误差

表1 磷酸铁锂离子锂电池电压仿真误差 单位：mV

表2 三元锂离子电池电压仿真误差 单位：mV

4 结语

为了在电池管理系统中对储能系统的锂离子电池状态进行准确估计，基于递推最小二乘法（RLS），对锂离子电池时变系统的模型参数的在线辨识进行了研究，并通过HPPC试验数据进行验证。理论分析和试验数据表明基于RLS 的在线参数识别方法能够自动适应电池SOC、温度及运行条件变化，拟合计算出高精度电池模型参数，进而保证所用模型的精度和适应性，有力支撑锂离子电池的精确建模与电池状态的准确估计。