谢甜甜, 杨 海, 罗永亮

(西安工程大学 理学院, 陕西 西安 710048)

椭圆曲线是代数几何中重要的曲线之一,至今已有100多年的历史,众多学者对找椭圆曲线整数点的问题有着浓厚的兴趣,在此期间也产生了大量的研究成果[1-5],这些成果也被广泛地应用于密码学中.但由于椭圆曲线求解的复杂性与参数的多变性,至今也没有一个系统的求解方式.目前,对于椭圆曲线

y2=(x+a)(x2-ax+b)

(1)

整数点的相关问题,主要集中在a=±2,±6,7上, 具体结果如下.

1) 当a=±2时:杜先存等[6]利用Legendre符号、同余式、Pell方程的解的性质等初等方法证明了a=-2,b=p,其中p=36s2-5时,椭圆曲线(1)仅有整数点为(-2,0);崔保军[7]利用初等方法证明了当a=-2,b=18时,椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(2,0),(106,±1 092);崔保军[8]运用同余、递归序列等初等方法证明了当a=-2,b=139时,椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(2,0),(14,±66),(284 594±151 823 364);管训贵[9]证明了当a=-2,b=m,其中m=4p-8=q+1或m=2p-8=q+1且p≡1(mod 8)(p,q为素数)时,椭圆曲线(1)上的所有整数点(x,y);赵建红[10]证明了当a=-2,b=15时,椭圆曲线(1)无正整数点;杜先存等[11]利用同余式、Legendre符号、Pell方程的解的性质等初等方法给出了当a=2,b=27时,椭圆曲线(1)无正整数点.

2) 当a=6时:过静[12]运用初等数论方法给出了当a=6,b=15时,椭圆曲线(1)无正整数点;赵建红等[13]利用唯一分解定理、同余的性质、Legendre符号的性质、奇偶数的性质、Pell方程的解的性质等初等方法证明了当a=6,b=19时,椭圆曲线(1)无正整数点;万飞等[14]证明了当a=-6,b=23时,椭圆曲线(1)无正整数点.

3) 当a=7时:董鑫等[15]利用二次剩余等初等数论方法与技巧证明了当a=7,b=19时,椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(-7,0),(-3,±14),(2,±9),(6,±13),(5 143 326,±11 664 498 677).

到目前为止,当a=2,b≡5(mod 8)为素数时,椭圆曲线(1)无相关结论.本论文将证明当a=2,b=13时,椭圆曲线……