许文彬

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

考虑如下带有变指数增长阶的非线性方程

(1)

v(x,0)=v0(x),x∈Ω

(2)

是需要的。但如果b(x,t)|x∈∂Ω=0，则不需要一般的边界条件v(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,T)。

当p(x,t)=p是常数时，方程(1)就是经典的具有对流项的非牛顿流方程，对此已经有许多的研究成果[1-9]。当b(x,t)≡1及gi=0时，方程(1)是电流变方程，其特征就是具有变指数p(x,t)增长阶。21世纪以来，较多的研究者对该方程进行了研究[10-15]。

b(x,t)>0,x∈Ω,b(x,t)=0,x∈∂Ω。

(3)

本文借鉴了文献[16-20]的一些经验，但本文的扩散系数b(x,t)和变指数p(z,t)均依赖于时间变量t，所以要克服时间变量t所带来的一些本质的不同和困难。

1 定义和引理

定义2W1,p(x)(Ω)空间W1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):|∇u|∈Lp(x)(Ω)}具有范数|u|W1,p(x)=|u|Lp(x)(Ω)+|∇u|Lp(x)(Ω),∀u∈W1,p(x)(Ω)。

W1,p(x)(Ω)被称为具有变指数的Sobolev空间，具有以下性质[21-22]。

现在考虑以下的初边值问题

(4)

v(x,0)=v0(x),x∈Ω，(5)

v(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,T)。

(6)

则称v(x,t)是问题(4)～(6)的弱解。

(7)

vk(x,t)=0，v(x,t)∈∂Ω×(0,T),(8)

vk(x,0)=v0k(x)，x∈Ω,(9)

(10)

(11)

意义下成立，则称b(x,t)是方程(1)具有初值条件(2)的弱解。

2 主要结果

(12)

则存在一方程(1)具有初值条件(2)的非负弱解b(x,t),这里c=c(T)表示常数与T有关。

(13)

由定理2，由于在Ω的内部函数b(x,t)>0,从式(13)可以看出，当u0(x)=v0(x)时，u(x,t)=v(x,t)几乎处处成立，即解的唯一性成立。

3 定理1和定理2的证明

3.1 定理1的证明

取在定义4意义下问题(4)～(6)的非负弱解vε作为检验函数,则

(14)

因为，

(15)

根据gi(x,t)∈C1(QT),γi(s)∈C1(R)，所以由式(10)、(14)～(15)可推出

(16)

(17)

因为，有

(18)

(19)

由式(17)～(19)可以推出

于是有

(20)

由式(16)和式(20)可以知道，vε→v于QT内几乎处处收敛，于是γi(vε)→γi(v)于QT内也几乎处处收敛。

3.2 定理2的证明

取χ[τ,s](t)[u(x,t)-v(x,t)]ξλ(x,t)为检验函数，这里χ[τ,s]是区间[τ,s]⊂(0,T)特征函数,并记Qτs=Ω×(τ,s)。于是，有

∬Qτs(u-v)ξλ(x,t)(∂(u-v)/∂t)dxdt=

(21)

首先，有

(22)

(23)

如果记Ω1t={x∈Ω:p(x,t)≥2},Ω2t={x∈Ω:p(x,t)<2}，因为u,v∈L∞，则有

(24)

利用Hölder不等式，可得

其次，有

(26)

由于β≥2p+，有

[b(x,t)-λ]β/p(x,t)-1|bxi|dxdt≤

(28)

(29)

当p(x,t)≥2时，则q(x,t)<2。由β≥2，利用Hölder不等式，可以得到

c[∬Qτs[b(x,t)(β-1)/(p(x,t)-1)-β/(2p(x,t)-1)]2/(2-q(x,t))dxdt]1/q22q1·

(31)

利用式(22)～(31)，在式(21)中令λ→0，可以推断出，存在某个l≤1，使得

(32)

成立。

又

∬Qτsb(x,t)β/p(x,t)(u-v)(∂(u-v)/∂t)dxdt=(1/2)∬Qτsb(x,t)β/p(x,t)(∂(u-v)2/∂t)dxdt。

(33)

式(33)的一种可能情况是，对任意的s≥τ，有

(34)

式(33)另一种可能是，存在s0≥τ，使得

(35)

结合式(32)～(33)，有

(36)

应用一个Gronwall不等式的推广形式[28]，由式(36)可以推出，

这与式(35)矛盾，即式(35)是不可能发生的。意味着，对于任何的s,τ∈[0,T]，不等式(34)总成立。由τ的任意性，有

定理2得证。