赵 一 锦

(四川大学 数学学院，四川 成都 610064)

0 引言

种群动力学模型是描述种群与环境、种群与种群之间相互竞争、相互作用的动力学关系的数学模型，可用于描述、预测、调节和控制物种的发展过程与发展趋势[1].两个不同物种的种群在同一个生态环境中生存，它们之间的关系包括捕食者与被捕食者、寄生物与寄主、相互竞争以及互惠共存[2].早在20世纪20年代，Volterra[3]已经利用微分方程解释了第一次世界大战期间捕食者鱼类数量增加的事实.随着种群动力学的发展，科研工作者们建立了一系列微分方程模型来刻画捕食者种群与食饵种群之间的关系.实验发现，动物可以对感知到的捕食风险表现出反捕食者反应[4]，除此以外，恐惧可能影响食饵幼年时期的生理状况并进一步对它们在成年后的生存构成不利[5].Zanette等[6]通过实验证明即使没有直接捕杀的影响，感知到的捕食风险也会影响食饵种群的繁殖.

2016年，Wang等[7]引入了一个恐惧效应f(k,y)，它满足

用于解释由于恐惧导致的反捕食者的防御成本，其中，y表示捕食者的种群数量，k反映了驱使食饵做出反捕食行为的恐惧程度.他们由此进一步提出了一个具有恐惧效应且带有Holling-II型功能反应的捕食者-食饵模型

(1)

和一个内部平衡点E2:(1,y*)，其中y*是由简化系统

的系数表示的，其中

它们是由系统(1)作变换

(2)

得到的.在双曲型情形下，Wang等[7]通过讨论系统在平衡点处Jacobi矩阵的行列式和迹的符号给出了平衡点的稳定性.利用Dulac-Bendixson定理……