周 斌

(汕尾市水利水电规划设计院，广东 汕尾 516600)

明槽恒定渐变流是水力学的经典问题，明槽通过一定流量时，由于底坡、上下游进出流边界条件差异及明槽内建筑物所形成的控制水深不同，明槽中的水流可以形成多种形式的水面线，并可采用微分方程表述[1]。明槽恒定渐变流微分方程工程上常采用隐式尤拉公式差分方程求解，即为应用广泛的能量方程[2]。尽管众多学者对能量方程进行了广泛的研究以提高其计算精度，但由于尤拉公式固有的低精度，使得算法精度提升潜力有限。显式Runge-Kutta法是一种在水利工程计算中应用较广泛的常微分方程数值解法，国内有不少学者尝试将其用于求解明槽恒定渐变流微分方程[3-5]。显式Runge-Kutta法是一种常微分方程的数值解法，具有高精度、计算简便的特点[6]，有一定的推广价值，可作为常用的能量方程算法的一个有益补充。显式Runge-Kutta法是条件稳定的[6]，若未严格控制计算步长，成果容易失真。有学者在显式Runge-Kutta算法引入了自动选择步长算法[6]以防计算成果失真[7]。究其原因，成果失真大多是由于计算失稳产生。因而查明算法的稳定性对明槽恒定渐变流显式Runge-Kutta法的推广运用是十分必要的。采用多元函数泰勒公式可推导显式Runge-Kutta法误差传播方程[8]，得到明槽恒定渐变流显式Runge-Kutta法的误差传播方程，以验证和控制算法的稳定性。

1 明槽恒定渐变流水面线微分方程[2]和4阶显式Runge-Kutt公式

明槽恒定渐变流满足如下微分方程：

(1)

式中s——流向方向的坐标；……