孙筱炜，吕毅斌*，王樱子，武德安

(1.昆明理工大学 理学院, 云南 昆明 650500；2.昆明理工大学 计算中心, 云南 昆明 650500；3.电子科技大学 数学科学学院, 四川 成都 611731)

复变函数中，保角变换是基本问题之一，它被广泛应用在流体力学、图像处理和光学等领域[1-3]。保角变换的主要求解方法有解析法和数值计算法，其中，解析法在实际应用时，由于工程问题的复杂性，并不能处理所有问题，因此适用范围有限，所以数值计算求解保角变换函数的方法研究更广。本文所研究的方法是日本研究学者Amano提出的基于模拟电荷法的数值保角变换法(即Amano法)[4-8]，该方法将模拟电荷法引入数值保角变换，避免了数值积分计算，具有计算时间短、程序复杂度低等优点。保角变换包括单连通域和多连通域数值保角变换，单连通域的数值保角变换分为内部数值保角变换和外部数值保角变换。本文在前人基础上，研究基于模拟电荷法的外部数值保角变换函数的理论收敛性。

1 基于模拟电荷法的外部数值保角变换

图1 基于模拟电荷法的外部数值保角变换

的解，γ是外部变换半径，h(z)是g(z)在D内的共轭调和函数，且h(∞)=0。

(1)

其中zi为约束点。由g(∞)=0,h(∞)=0，可得

(2)

联立(1)、(2)，得到以Qj(j=1,2,…,N)和logγ为未知量的线性方程组：

(3)

其中aij=log|zi-ζj|,i,j=1,2,…,N。且保角变换函数f(z)近似为

2 定义及引理

令

(4)

这个近似解在平凡仿射变换下具有不变性[12]。使用函数ψ定义模拟电荷点ζj和约束点zi[13-14]

(5)

其中r>a，ω=exp{2πi/N}，且函数ψ具有保角拓展性，可拓展到{w∈C│|w|≥αa}(0<α<1)，这种保角拓展性等价于封闭Jordan曲线C的解析性。

本文考虑在Hilbert空间中，使用范数进行误差估计。将Dirichlet问题转化为在S1=R上的问题，且所有定义在S1上的函数均是周期为1的周期函数[15]。