赵卫平，赵欣杰，陈佳麟，吴丽丽

（中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京 100083）

0 引言

钢结构基本原理为土木工程专业核心课，轴心受压构件的稳定承载力既是教学重点也是教学难点。根据截面形式和支撑边界条件的不同，轴压柱有弯曲型、弯扭型和扭转型3 种失稳形式。双轴对称工字形截面绕强、弱轴均发生弯曲型失稳；单轴对称的T 形截面绕非对称轴发生弯曲型失稳，而绕对称轴发生弯扭型失稳；十字形截面失稳形式可能是弯曲型和扭转型，取决于截面自由外伸肢的宽厚比［1-2］。

先修专业基础课材料力学在T 形截面绕对称轴失稳时不计入扭转效应的简化方法将导致偏于不安全的结果［3-4］，《钢结构设计规范》1988 年之前的版本已经废除［5］；此外，薄壁开口截面扇性坐标及扇性惯性矩所涉及的理论计算多数院校并没有纳入土木工程专业本科阶段力学课程的教学范畴。钢结构基本原理课程中涉及轴心压杆稳定的计算从平衡微分方程组的关联性出发［6-7］，结合剪力中心的概念讲授对本科生特别抽象、突兀［8-9］；为提高学生对压杆失稳形式的认识，设置相关的实验教学环节与理论授课相结合，可在有限的学时内得到很好的授课效果。

本文从理论公式入手，找到各类失稳类型转变的临界条件，设计了与3 种失稳形式相对应的缩尺教学试件。利用简单的教学设备、占用有限的实验室空间和极少的资金投入即可达到良好的教学效果。基于ANSYS软件对各试件的失稳形式进行了数值模拟，有限元计算结果与理论分析吻合较好。实验设计过程兼顾了安全性、经济性、可操作性，可供相关专业的实践教学环节老师或工程技术人员参考。

1 实验设备

实验设备为梁柱教学实验系统，由反力架，压力500 kN、行程200 mm 的分离式液压千斤顶和支座组成，可以进行钢结构、混凝土等柱类试件的轴压、偏压实验，如图1 所示。

图1 压杆稳定性试验装置图

反力架的上、下横梁可以根据试件的大小上下调节，千斤顶通过拉杆拉板与反力架上横梁连接，该种连接方式可以使千斤顶固定在横梁上的任意位置。千斤顶活塞杆端依次为力传感器、柱顶承压盘、受压钢柱、柱底法兰盘、反力架下横梁、柱底法兰盘与下横梁通过螺栓连接，避免钢柱受压弯曲变形后弹出引发安全隐患。柱高统一取1 m，长细比的变化可通过调整横截面几何尺寸实现。轴压钢柱加载示意图见图2。

图2 轴压柱加载示意图

2 理论计算

2.1 开口薄壁杆弹性微分方程

根据开口薄壁杆件理论，理想压杆失稳的弹性微分方程为［1］：

式中：E为弹性模量；Ix为绕x轴惯性矩；N为轴向压力；v为x方向弯曲位移；x0为x方向剪切中心与形心之间的距离；θ 为截面扭转变形角；Iy为绕y轴惯性矩；u为y方向弯曲位移；y0为y方向剪切中心与形心之间的距离；Iw为扇形惯性矩；G为剪切模量，G＝E／2（1 ＋υ）；It为抗扭惯性矩；r0和分别为考虑纵向应力和残余应力对扭转平衡的影响，

双轴对称截面轴心压杆剪力中心和形心重合，x0＝0，y0＝0，代入式（1）～（3）得：

由式（4）～（6）可知，3 式都可以独立求解求得3个解，代表3 种失稳模态，分别是绕x、y轴弯曲失稳和绕纵轴的扭转失稳。欧拉临界力分别为：

式中：Nex、Ney分别为绕x、y轴的欧拉临界应力；Neθ为欧拉扭转临界应力；l0x、l0y分别为x、y轴计算长度；λθ为扭转屈曲换算长细比。

对于单轴对称截面轴心压杆剪力中心和形心不重合，所以y0＝0（x轴为对称轴），代入式（1）～（3）得：

式（11）可以单独求解，为弯曲失稳；而式（10）、（12）需要联立求解，说明x向位移与轴向扭转角之间存在偶联关系，为弯扭失稳，失稳欧拉临界力分别为：

式中：λx、λy分别为绕x、y轴的长细比；New为弯扭临界力；λxz为弯扭长细比。

根据弹性稳定理论，扭转屈曲临界力为：

将式（9）与（15）联立得扭转换算长细比：

式中：i0为极回转半径（i0＝e20＋i2x＋i2y，e0为形心到剪心的距离；ix、iy分别为绕x、y轴回转半径）；A为截面面积；角钢截面Iw＝0［10］。对由狭长矩形截面组合成的截面［2］：

其中k是考虑各组成截面实际是连续的影响而引入的增大系数；双轴对称工字截面k＝1.30，单轴对称工字截面k＝1.25，T形截面k＝1.20，其余情况k＝1.00。

根据弹性稳定理论，弯扭屈曲临界力为［11］：

将式（14）与（17）联立得弯扭换算长细比：

最后通过长细比查表找出稳定系数φ，通过下式求出失稳临界力F：

式中，f为材料抗压强度设计值。

2.2 角钢截面理论计算

等边角钢的截面形式与尺寸如图3 所示。

图3 等边角钢截面尺寸

由式（10）～（12）分析可知，单轴对称截面可能会发生绕对称轴失稳的弯扭失稳，绕非对称失稳的弯曲失稳，按照λx＝lox／ix和式（18）分别计算出λx和λxz，然后利用式（19）计算出F。钢结构设计规范GB 50017—2017 中给出了等边单角钢换算长细比简化公式［12］：

当b／t≤0.54loy／b时：

发生弯扭失稳时，弯扭屈曲换算长细比应满足λxz＞λx，将式（20）与λx＝lox／ix代入该式得：

即：

当b／t＞0.54loy／b时：

根据发生弯扭失稳时换算长细比应满足的条件，将式（22）与λx＝lox／ix代入得：

解得：

所以当b／t≤0.54loy／b时，b2／t＞2 141 发生弯扭失稳，反之发生弯曲失稳；当b／t＞0.54loy／b时（13.5b4＋4t2）／13.5b2t＞2 146 发生弯扭失稳，反之发生弯曲失稳。

《钢结构设计规范》GB 50017—2017 中等边角钢截面对x轴对y轴均为b类［12］，变化参数与计算结果见表1。

表1 等边角钢截面计算参数与失稳形式

2.3 十字截面理论计算

双轴对称十字形截面形式与尺寸如图4 所示。

图4 十字形截面尺寸

由式（4）～（6）分析可知双轴对称截面轴心压杆可能会发生弯曲失稳和扭转失稳两种形式，按照λx＝μl／ix和式（16）分别计算出λx和λθ然后利用式（19）计算出F。

扭转屈曲换算长细比为式（16），十字钢截面Iw＝0［13］，所以

解得：

当发生扭转失稳时，λθ＞λx，将式（26）与λx＝lox／ix代入该式得：

即：

所以当b2／t＞906 时发生扭转失稳，反之发生弯曲失稳。

《钢结构设计规范》GB 50017—2017 中十字形截面对x轴和对y轴均为c类［12］，变化参数与计算结果见表2。

表2 十字形截面计算参数与失稳形式

2.4 工字截面理论计算

双轴对称工字形截面形式与尺寸如图5 所示。

图5 工字形截面尺寸

按照λx＝μl／ix、λy＝μl／iy和式（19）计算即可，《钢结构设计规范》GB 50017—2017 中轧制工字形截面当b／h≤0.8 时对强轴为a类曲线对弱轴为b类曲线［12］，h、b、t、tw单位都为mm。由式（4）～（6）分析可知工字钢截面可能会发生绕x轴的弯曲失稳（x轴为弱轴），绕y轴弯曲失稳和绕纵轴的扭转失稳；但工字钢截面扭转屈曲临界力总是高于弯曲屈曲临界力，本文不再列举［14］，变化参数与计算结果见表3。

表3 工字形截面计算参数与失稳形式

3 有限元模拟结果及分析

3.1 模型介绍

ANSYS中SHELL181 单元适合薄壳结构的大转动变形和非线性大形变的分析。本次研究的3 种截面形式钢柱在长度方向的几何尺寸l远大于横截面特征尺寸，同时横截面上的厚度t远小于外伸肢宽度b。

MASS21 是一个具有6 个自由度的点单元，即x、y和z方向的平动和绕x、y和z轴的转动。用于加载点的模拟［15］。

根据表1～3，由SHELL181 单元生成壳，然后把MASS21 单元分别建在钢柱的两端，并把钢柱两端的自由度耦合在MASS21 节点上形成刚域，用于施加约束和荷载，约束情况为一端自由一端固定，然后先进行特征值屈曲分析然后用UPGEOM 命令根据一阶特征屈曲模态失稳形式施加初始缺陷，打开大变形选项采用弧长法叠代计算。

钢材屈服强度fy＝235 MPa，弹性模量E＝206 GPa，泊松比ν ＝0.3，本构关系为理想的弹塑性模型（BISO）。

3.2 数值模拟结果

根据一阶特征屈曲模态施加初始缺陷，失稳前后模型对比如图6～8 所示。

图6 工字截面失稳变形图

表1 中当截面尺寸为b＝100 mm，t＝10 mm 与b＝160 mm，t＝10 mm时通过计算，两种截面尺寸钢柱失稳形式分别为弯曲失稳与弯扭失稳，上述同样截面尺寸在ANSYS软件中模拟，结果也分别为弯曲失稳与弯扭失稳；表2 中当截面尺寸为b＝48 mm，t＝5 mm与b＝120 mm，t＝11 mm 时通过计算，两种截面尺寸钢柱失稳形式分别为弯曲失稳与扭转失稳，上述同样截面尺寸在ANSYS软件中模拟，结果也分别为弯曲失稳与扭转失稳；表3 中当截面尺寸为b＝68 mm，h＝100 mm，tw＝4.5 mm，t＝7.6 mm 时通过计算，失稳形式为弯曲失稳，上述同样截面尺寸在ANSYS软件中模拟，结果也为弯曲失稳。表1～3 中其他截面尺寸钢柱也有同样结果，不再列举。有限元模拟结果与计算结果对应良好。

图7 十字截面失稳变形图

图8 角钢截面失稳变形图

3.3 柱子曲线

2017 版的《钢结构设计规范》中的柱子曲线是考虑了初弯曲和残余应力且初弯曲的失高取柱长度的1／1 000［12］，然后根据数理统计，将柱子曲线分成a、b、c、d4条，柱子曲线具体形式如下：

图9 柱子曲线散点图

由图9 可见，表1～3 截面类型的稳定承载力均分布在《钢结构设计规范》GB 50017—2017 规定的带状区域内，实践教学环节可根据目标失稳形式选择合适的截面类型和尺寸。

4 结语

等边角钢截面钢柱当b／t≤0.54loy／b时，b2／t＞2 141 发生弯扭失稳，反之发生弯曲失稳；当b／t＞0.54loy／b时，（13.5b4＋4t2）／13.5b2t＞2 146 发生弯扭失稳，反之发生弯曲失稳。根据计算结果弯曲失稳建议截面尺寸b＝100 mm，t＝10 mm，弯扭失稳建议截面尺寸b＝160 mm，t＝10 mm。十字形截面钢柱当b2／t＞906 时发生扭转失稳，反之发生弯曲失稳。根据计算结果弯曲失稳建议截面尺寸b＝48 mm，t＝5 mm，扭转失稳建议截面尺寸b＝120 mm，t＝11 mm。工字形截面钢柱弱轴的长细比总是大于强轴长细比，而且扭转换算长细比总是小于弯曲失稳长细比，所以总是发生绕弱轴的弯曲失稳。根据计算结果弯曲失稳建议截面尺寸b＝68 mm，t＝76 mm，tw＝45 mm，h＝100 mm。