孙一航 刘小辉

在各类高中数学测试题和高考题中，自然对数的底e的泰勒展开式及其变式是命题的一个重要出发点.本文简要介绍泰勒公式和自然对数的底e，并结合例题分别呈现出利用泰勒公式进行高中数学解题的思想和方法.最后，得到融入泰勒公式的高中数学命题的一般模式，总结命题思想及体现数学素养.

评注 本题考查函数、导数、不等式、二项式定理，这是一道典型的综合题.作为压轴题它具备一定的难度，但究其考察的知识内容与思想方法依然是在学生的能力范围之内.第（1）问只需套用二项式定理公式即可解答;第（2）问则需要综合运用到求导、均值不等式和放缩、构造函数等数学思想方法;第（3）问则考察学生的二项展开式的计算和变形.同时，本题渗透了极限、收敛的思想，可以说是一道不错的高考题.

从高观点的角度来看本题第（2）问，我们可以发现对任意函数进行泰勒展开，只需要保证f（x）与f″（x）为非负均可得到我们要证明的结果，我们并不需要用到f（x）的具体表达式，也就是说这个结论是一般性的.命题者将一般性的结论引进到特定的函数之中，这就是命题者命题的出发点，并且得到的式子的结构整齐对称.此题对学生来说是陌生的，跟他们之前做过的题目会有所不同，这会使学生感到困难，在考试中造成一定的心理压力.他们通常会按部就班地将证明中所涉及的导数都求出来再去寻找下一步的解题方向……