连景杰, 郭加宏, 雷作胜

(1. 上海大学上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072;2. 上海大学省部共建特殊钢冶金与制备国家重点实验室, 上海 200444)

悬浮熔炼和高温熔融金属液的黏度和表面张力等参数的测定, 既需要加热金属至熔融状态, 同时还需要利用液滴形态振荡及其衰减特性. 采用高频调幅交变电磁场, 既能加热金属,使金属液滴足以维持在较高的温度, 保持熔融状态, 又能使金属液滴产生形态振荡. 目前, 采用高频调幅交变电磁场的方法颇具应用前景.

液滴的振荡行为是研究液滴动力学的重要问题之一, 对大气科学、化工冶金、天体物理等多个领域相关问题的研究有重要意义. 早在1879 年, Rayleigh[1]在悬浮液体的形状是球形且液滴不旋转的假设下, 推导出了液滴振荡频率和表面张力的关系.

研究悬浮液滴振荡行为的方法主要有超声悬浮法和电磁悬浮法. 魏炳波课题组[2-4]在声悬浮实验中激发了液滴的多模态振荡, 研究了自由液滴表面波形成机理及模式2～9 的扇谐振荡, 并且测定了液体的表面张力; Fraser 等[5]首次将电磁悬浮液滴振荡法运用于表面张力的测定; Kocourek 等[6]将GaInSn 液滴置于高频交变电磁场的作用中, 当高频感应电流达到临界值时, 液滴就会发生不稳定现象, 其振动状态和磁场频率、液滴体积都有直接的关系; Cummings等[7]对Rayleigh 公式进行了修正, 发现在地球重力场中悬浮液滴会偏离球形, 这就会导致Rayleigh 频率的分裂与平移(振荡频谱中通常存在多个频峰). 在微重力环境中, 液滴表面振荡只有一个频率, 而在地球重力场中则出现了5 个对应于模式2 的频峰; 此外, 在频谱的低频段也出现了一些频峰, 这些频峰对应于液滴质心的平移频率[8]. 王飞龙等[9]基于位置敏感探测器(position sensitive detector, PSD)和电磁悬浮技术, 对熔融金属锆的表面张力和黏度进行了测量.

关于悬浮液滴振荡的数值模拟, Jorge 等[10]研究得到了在微重力真空条件下, 黏性细长液滴自由振荡的2 维数值计算结果; 朱宏达等[11]对高频调幅交变磁场中悬浮金属液滴的振荡行为进行了2 维数值模拟, 揭示了液滴内部流动以及液滴振荡的形态变化, 该数值模拟得到的液滴振荡形态与实验结果基本一致; Kaushal 等[12]数值模拟了真空中在电磁场的作用下液态金属锆液滴的振荡. 迄今, 针对液滴振荡的3 维数值模拟研究还鲜有文献报道.

本工作以在高频交变电磁场作用下金属液滴实验结果为依据, 以任意拉格朗日方法追踪液面变化, 对高频调幅交变电磁场作用下金属液滴的振荡行为进行了3 维数值模拟. 模拟得到了高频交变电磁场、金属液滴内部流动以及液滴自由表面的动态变化行为.

1 数值模拟方法

1.1 控制方程及初、边值条件

高频调幅交变电磁场中液滴悬浮的磁流体动力学控制方程如下.

(1) 麦克斯韦方程组.

式中:E为电场强度(V/m);D为电位移矢量(C/m2);H为磁场强度(A/m);B为磁感应强度(Wb/m2);ρe为电荷密度(C/m3).B和D满足以下本构关系:

式中:μ0,μr为绝对磁导率和相对磁导率;ε0,εr为绝对和相对电容率. 在计算交变磁场时, 为了简化电磁场方程, 引入磁矢势A, 磁矢势满足

(2) 洛伦兹力FL为

在电磁流体力学中, 洛伦兹力是流体运动的外源力, 根据欧姆定律

式中:u为液滴内部金属液体流动速度;σ为电导率. 根据上述方程组可以计算得到电磁场作用下液滴内部的洛伦兹力.

(3) 流体动力学方程组.

连续性方程:

不可压流体N-S 方程:

式中:Fs为表面张力. 数值计算中, 忽略液滴中金属液流动对磁场的影响. 物理场的初、边值条件设定: 在计算磁场时, 设置计算域(空气域)边界条件n×A=0. 在悬浮金属液滴流动模拟中, 悬浮液滴初始为圆球形, 流动速度为0, 置于悬浮线圈和稳定线圈之间.

1.2 界面追踪和界面条件

振荡液滴自由液面的追踪计算采用任意拉格朗日欧拉(arbitrary Lagrange-Euler, ALE)方法. ALE 方法是传统的拉格朗日方法和欧拉方法的一种组合, 综合了这2 种方法的优点. 计算流场时采用两相流计算模型分别设置气态域和液态域, 并划分自由移动网格, 这里初始形状计算采用Winslow 光滑法. 在气态域和液态域界面上设置界面张力σ, 约束液滴界面运动. 移动网格在界面上跟随液态域流体网格一起移动.

(1) 液滴和空气界面压力为大气压p0=101 kPa.

(2) 液滴表面张力为σ, 液滴和空气界面满足

式中:u1,u2为2 种介质的界面速度;T1,T2为2 种介质的应力张量;∇τ为界面应力张量.

2 数值模拟

本工作3 维数值模拟了悬浮金属液滴的振荡过程, 其电磁场由图1 所示的上、下2 组螺线管线圈产生. 图1 下部5 个线圈为一匝, 上部2 个线圈为一匝, 上下线圈绕制方向相反. 高频调幅交变磁场的调制形式为双频调制, 线圈调制电流频率以高频fc作为载波频率, 以低频fm为调制波频率;η为调制深度. 电流调制模式为

图1 线圈示意图Fig.1 Coil schematic

式中:ω2=2πfm;f2＜＜f1, 也即fm＜＜fc.

模拟时, 通过加载高频调幅电流, 在线圈内空间产生高频调幅交变电磁场, 在液滴中产生感生电流, 进一步产生洛伦兹力, 在洛伦兹力与界面张力共同影响下金属液滴产生振荡行为.

在数值计算中, 假设液滴为不可压缩流体; 液滴的物性参数(如密度、磁导率等)不变; 表面张力系数恒定; 只考虑金属液滴内部传导电流, 忽略位移电流. 经网格无关性验证, 当网格数为235 000 以上时, 计算满足精度要求, 因此计算时采用上述网格数.

2.1 高频调幅交变电磁场

图2 为当t=0.19 ms 时计算域中计算得到的磁场分布图. 磁场分布符合由2 个反向绕制的螺线管线圈产生的磁场标准. 在3 维空间中, 磁力线环状围绕组成线圈的导线, 线圈内部磁场方向符合右手法则. 由于上下2 个部分线圈绕制相反, 故上下线圈组内部磁场方向总是相对或相反. 在上下线圈组中间区域产生一个分布比较均匀的磁场, 金属液滴被约束在这样一个高频调幅交变磁场中产生振荡, 液滴的上下部分分别处于方向相对或相反的磁场中.

图2 t=0.19 ms 时计算域中磁场分布Fig.2 Distribution of magnetic field in computational domain when t=0.19 ms

图3 为当t=160 ms 时液滴磁感应强度云图. 从图中可以看到, 在高频交变电磁场中, 由于存在集肤效应, 金属液滴内部的磁感应强度仅在近表面区域较大, 深入液滴内部磁感应强度迅速减小, 趋向于0. 因此, 液滴受到的洛伦兹力将集中在液滴内部近表面区域, 液滴内部深处受到的洛伦兹力基本为0, 液滴受到的洛伦兹力近似于表面力. 金属液滴受动态变化的洛伦兹力激励, 在表面张力以及重力的共同作用下产生振荡.

图3 t=160 ms 时液滴磁感应强度云图Fig.3 Magnetic induction intensity nephogram of the droplet when t=160 ms

图4 为当调幅波频率fm为11.48 Hz 时, 一个调幅周期中液滴感应电流分布图, 其中液滴内的感应电流基本上都是围绕着液滴周向旋转. 上述结果表明, 在高频调幅交变电磁场作用下金属液滴内的感应电流分布具有明显的3 维特性, 需要进行3 维数值模拟.

图4 一个调幅周期中液滴的感应电流分布图Fig.4 Induced current distribution diagram of the droplet in an amplitude modulation period

2.2 高频调幅交变电磁场中洛伦兹力

图5 为当调幅波频率fm为11.48 Hz 时, 一个调幅周期中液滴受到的洛伦兹力分布图. 由于磁场的交变特性, 金属液滴内带电流体受到磁场作用力, 故洛伦兹力的方向也呈现向外和向内交替变化的特征. 从图5 中可以看到, 液滴上、下2 部分内的洛伦兹力方向始终相反, 为此液滴在洛伦兹力的作用下, 在垂直方向出现交替的拉长和缩短现象; 另外, 液滴在高频调幅交变电磁场作用下, 整体上下振荡的同时自身形态在发生变化, 而且液滴的形态变化并不遵循高频调幅交变电磁场的调幅周期.

图5 一个调幅周期中液滴的洛伦兹力分布图Fig.5 Lorentz force distribution diagram of the droplet in an amplitude modulation period

液滴的形态变化将影响其振荡幅度. 图6 为液滴顶点受到的洛伦兹力随时间的变化(fm=11.48 Hz). 在高频调幅交变电磁场作用下, 液滴内金属流体中产生感应电流, 金属流体所受洛伦兹力呈现如图6 中的包络图状, 包络图低频周期为高频调幅交变电磁场的调幅周期.从图6 可以看出, 振荡液滴顶点所受的洛伦兹力随高频调幅交变电磁场的变化而变化, 与激励磁场不同的是其呈现变幅度的高频调幅振荡, 幅值有一定的起伏变化, 这与液滴顶点在各个调幅周期中所达到的位置不同有关.

图6 液滴顶点的洛伦兹力z方向分量Fig.6 Component in z direction of Lorentz force of the droplet vertex

为了对高频调幅交变电磁场中的电磁力进行理论分析, 加载电流如式(12)所示. 假设悬浮线圈产生的磁场和铝液滴的振动是轴对称的. 根据Maxwell 方程组, 引入磁矢势A(r,z,t), 则磁场的表达式为

磁矢势A(r,z,t)满足电磁感应方程:

当忽略欧姆定律中感生电流项u×B时, 单电流密度的角向分量

根据上述公式, 可以得到相应的瞬时电磁力的表达式:

首先, 考虑单频率电磁场情况, 单频率下矢势可以表示为A0=A(f1,f2=0),F0为对应的电磁力. 磁矢势A0由式(13)和(15)控制, 此时F0可以表示成磁矢势形式:

进一步考虑双频率电磁场情况. 假设调制函数为

此时双频率电磁场的矢势形式为

即

式(19)中, 左边括号中第2 项包含了关于调制函数m(t)的时间导数. 由于调制函数m(t)是关于低频fm的时间导数, 则的数量级与f2/f1相当. 由于f2＜＜f1, 故式(20)左边括号第2 项可以忽略. 因此, 把式(19)代入式(16)可以较好地近似得出高频调幅交变磁场的电磁力:

由此, 根据文献[13], 当高频远大于低频时电磁力也不同于单频下的电磁力, 电磁力由高频时均电磁力和瞬变振荡力这2 部分组成:

式中,

从上述公式可以看出, 高频调幅交变电磁场下的电磁力主要由2 部分组成, 其中振荡部分是基于低频的瞬变力, 并包含有2 种频率: 低频ω2和其倍频2ω2.

2.3 高频调幅交变电磁场作用下液滴振荡特性

图7 为一个调幅周期液滴的速度矢量分布图(fm= 11.48 Hz). 在高频调幅交变磁场作用下, 液滴处于振荡状态, 垂直方向出现交替的拉长和缩短过程. 从图中可以明显看到, 当液滴上半部分速度方向向上时, 液滴下半部分速度向下. 液滴在高频调幅交变电磁场作用下, 在整体上下振荡的同时自身形态不断变化. 液滴振荡受到液滴形态变化的影响, 呈现出与高频调幅交变磁场调幅周期相同的变振幅振荡, 具有明显的参数振荡特征.

由图7 也可看到一个调幅周期内振荡液滴形状演化的过程. 液滴在高频调幅交变电磁场的作用下产生振荡, 振荡液滴形状基本上为梭形, 梭形液滴在垂直方向出现交替的拉长和缩短过程. 图8 为在高频调幅交变电磁场作用下振荡液滴形状演化的实验图像. 图7 相较于图8,振荡液滴形状演化相似.

图7 一个调幅周期液滴的速度矢量图Fig.7 Velocity vector map of the droplet in an amplitude modulation period

图8 实验得到的液滴振荡过程中形状演化Fig.8 Shape change of the oscillating droplet in the experiment

图9～11 显示了调幅波频率分别为11.48, 8.00 和4.00 Hz 时, 液滴顶部位移随时间变化曲线. 从图中可以看出, 振荡液滴的顶点位移是变幅的稳态周期振动, 幅值有一定的起伏变化.上述结果表明, 金属液滴在高频调幅交变电磁场作用下产生的振荡, 具有参数振荡特征. 图10～12 显示了调幅波频率分别为11.48, 8.00 和4.00 Hz 时, 液滴振荡时顶部位移的频谱分析结果. 从频谱分析结果可以看到, 液滴振动的主频与高频调幅交变电磁场的调制波频率相同,液滴振动的副频中倍频幅度比较显著, 3倍以上倍频幅度远小于主频和倍频的幅度. 高频调幅交变电磁场中洛伦兹力的分析结果显示, 洛伦兹力主要由2 个部分组成, 其中振荡部分是基于低频的瞬变力, 主要包含有2 种频率, 即低频ω2和其倍频2ω2. 上述液滴振动频谱的频谱特性, 与高频调幅电磁场中金属液滴所受洛伦兹力的频谱特性吻合.

图9 液滴顶点在z 方向的位移随时间的变化(fm =11.48 Hz)Fig.9 Time-dependent displacement of the droplet vertex in z direction (fm =11.48 Hz)

图10 液滴顶点在z 方向的位移随时间的变化(fm =8.00 Hz)Fig.10 Time-dependent displacement of the droplet vertex in z direction (fm =8.00 Hz)

图11 液滴顶点在z 方向的位移随时间的变化(fm =4.00 Hz)Fig.11 Time-dependent displacement of the droplet vertex in z direction (fm =4.00 Hz)

图12 傅里叶变换得到的液滴顶点位移频谱图(fm =11.48 Hz)Fig.12 Frequency spectrum of the droplet vertex displacement obtained by Fourier transform(fm =11.48 Hz)

图13 傅里叶变换得到的液滴顶点位移频谱图(fm =8.00 Hz)Fig.13 Frequency spectrum of the droplet vertex displacement obtained by Fourier transform(fm =8.00 Hz)

图14 傅里叶变换得到的液滴顶点位移频谱图(fm =4.00 Hz)Fig.14 Frequency spectrum of the droplet vertex displacement obtained by Fourier transform(fm =4.00 Hz)

3 结 论

本工作对高频调幅电磁场作用下金属液滴的振荡行为进行了3 维数值模拟. 数值模拟结果揭示了高频调幅电磁场中金属液滴所受洛伦兹力特性、液滴振荡的形态和频谱特性. 数值模拟结果得到如下结论.

(1) 在高频调幅交变电磁场中, 金属液滴受近似表面力的洛伦兹力激励, 在表面张力和重力的共同作用下产生周期性振荡行为.

(2) 液滴在高频调幅交变电磁场作用下, 作整体上下振荡的同时自身形态不断变化. 因此,在高频调幅电磁场作用下, 金属液滴的周期性振荡行为在各个周期中振幅起伏变化, 具备参数振荡特征.

(3) 液滴振荡频谱的计算分析结果显示, 在高频调幅电磁场作用下, 液滴振动的主频和高频调幅电磁场的调制波频率相同, 在其倍频处也会出现较大幅值, 液滴的这一振荡特征与高频调幅电磁场中金属液滴所受洛伦兹力的频谱特性吻合.