汪银姿,胡召平

(上海大学理学院, 上海 200444)

平面多项式微分系统的可积问题是微分方程定性理论的核心课题之一, 被刘一戎等[1]列为平面向量场的4 大经典问题之一. 尽管一般的系统都是不可积的, 但在研究数学模型时可积系统非常重要, 因为对一个可积系统进行扰动可以得到丰富的分支现象. 目前, 研究可积问题的成果相当多[2-14]. 另外, 退化奇点的分类也是微分方程定性理论的另一个重要课题. 韩茂安[15]对平面哈密顿系统的幂零奇点给出了一个有效的分类方法, 而这里的幂零奇点是一类特殊的退化奇点. 可见, 哈密顿系统只是一类特殊的可积系统, 目前也有相当多的学者研究哈密顿系统[16-22].

中心问题是另一个和可积性问题密切相关的经典问题, 也是同属于平面向量场理论中的4 大经典问题之一[1]. 所谓的中心问题是, 在什么条件下平面实多项式系统

以原点(0,0)为中心? 众所周知, 原点(0,0)为系统(1)的中心当且仅当具有如下形式的首次积分:

即函数F(x,y)满足方程

引入变换u=x+iy,v=, i dt=dτ, 并仍记τ为t, 则系统(1)变为如下复平面上的多项式微分系统:

因而, 中心问题等价于系统(2), 具有如下的首次积分:

此时, 称原点为系统(2)的1:-1 共振中心.

进一步地, 该问题可以推广到如下更一般的复系统:

式中:p,q ∈N 且互素, 并将高次项的系数记为

若系统(3)具有形式

的首次积分, 则称系统(3)在原点局部可积, 亦称原点为系统(3)的p:-q共振中心.

由此可见, 上述可积问题可以看作是中心焦点问题的……