丁春年

【摘要】直观想象素养是高中数学六大核心素养之一.笔者通过利用直观想象解决抽象函数问题、平面向量问题、立体几何问题等几个典型案例，对利用直观想象解决数学问题进行了分析与思考.在数学问题的解决中，教师要使学生能够通过图像直观认识数学问题，能够利用图形描述和表达数学问题，从而培养学生的直观想象素养.

【关键词】直观想象;函数图像;直观模型

【课题项目】甘肃省教育科学“十三五”2018年度课题立项，立项号：GS[2018]GHB1340

《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《课标》）提出了高中数学六大核心素养，而直观想象是其中的素养之一.虽然直观想象素养在《课标》中被正式提出，但直观想象的说法由来已久.数学家希尔伯特曾说：“要帮助学生学会用图形来描述和刻画问题，要帮助学生学会用图形去探索解决问题的思路.”这说明了图形是解决数学问题的有力工具.哲学家康德也认为：“缺乏直观的概念是盲目的.”这说明了直观是我们认识概念的前提.前人的经验充分说明：直观想象是我们认识事物的一种基本方式，它有助于我们解决问题.

1 直观想象的定义

《课标》修订组从数学学科核心素养的关键能力和学科思维品质的角度出发，给出了直观想象的定义：直观想象感知事物的形态与变化，借助的是几何直观能力和空间想象能力;解决问题的过程，利用的是对几何图形的理解.利用空间形式特别是图形理解和解决数学问题的素养主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述分析数学问题;建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

对直观想象进行定义解读不难发现几何直观和空间想象是直观想象的两个要素，其中几何直观包括平面几何直观与立体几何直观，其内涵可以从数与形的关系、图形与数学问题表征、建构问题的直观模型三个方面理解.对空间想象内涵的理解可以从数学概念中的文字语言、符号语言、图形语言的转换，图形的形状变化与运动的描述，抽象图形和想象实际物体，想象图形和实际物体之间的位置关系和方位等几个方面理解.由此可见，利用直观想象认识数学问题、解决数学问题完全符合高中阶段学生的认知特点.这是因为在一定的问题情境中，学生对数学问题的认识往往需要在数学直观和空间想象的基础上，通过直观感知、操作确认、推理论证来获得结论和发展思维能力.

2 直观想象核心素养的三级水平划分

《课标》修订组专家在给出直观想象素养的基本水平划分之后，又对直观想象素养进行了三级水平划分，这种划分的理论构想是：将知识学习按照理解难度顺序依次分为三种形态，即知识理解、知识迁移、知识创新.三种形态分别对应三种表现形式.

表现1 直观想象感知，表现内容为：抽象几何图形、想象实际物体、图形运动变化、根据描述画图形.

表现2 直观想象分析，表现内容为：理解数学概念、描述数学问题、分析数学问题、直观探索问题.

表现3 直观想象建构，表现内容为：图形建构、图形分析、数形结合、直观迁移.

由此可见，《课标》修订组对直观想象素养进行三个水平层次的划分，分别对应实际情境、数学情境、科学情境.具体描述为：能够在熟悉的情境中，建立实物的几何图形;能够在数学的教学情境中，借助图形的性质和变换发现数学规律;能够通过图形直观认识数学问题;能够用图形描述和表达熟悉的数学问题.

直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理的思维基础.笔者结合几个利用直观想象解决数学问题的典型案例，进行逐一分析与点评，并提出了相应的教学建议.

3 案例分析

3.1 利用直观想象解决抽象函数问题

函数是高中数学的重要概念，它贯穿了整个高中数学知识，涵盖了多个知识点.以函数为主线“串”起了函数、方程、不等式、数列等知识.函数的性质涉及函数的单调性、奇偶性、周期性等.函数本身具有抽象性，而抽象函数更加抽象，它既是数学学习中的难点问题，又是高考的热点问题.在解决抽象函数问题时，可以利用函数的性质，描绘出函数的大致图像，通过直观想象感知函数的图像，达到解决抽象函数问题的目的.

例1 设函数f ′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的导函数，f （-1）=0，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（  ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）  B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

解析 构造函数g（x）=f（x）x（x≠0），

则g′（x）=xf′（x）-f（x）x2.

由题意，当x>0时，g′（x）<0，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减.又因为函数f（x）是奇函数，所以函数 g（x）是偶函数，且g（1）=f（1）=-f（-1）=0，所以函数g（x）的

大致图像如图1所示.

由函数g（x）的图像可知：当x∈（-∞，-1）∪（0，1）时，f（x）>0，故选A.

点评 从函数的性质入手，因为函数f（x）是奇函数，可知函数f（x）的图像关于坐标原点对称，因此，仅考虑函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性即可，再结合不等式xf′（x）-f（x）<0的结构特征，可知函数g（x）=f（x）x在区间（0，+∞）上的单调性，最后，由f （-1）=0，可画出函数g（x）的大致图像，由函数图像可求出结果.由此，体现了在熟悉的情境中建立实物的几何图形的直观想象素养.

3.2 利用直观想象解决平面向量问题

向量是近代数学中较重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何的一种工具，在高中数学中具有重要的作用和地位.向量作为一种既有大小又有方向的量，既具有形的特征，可以通过构造向量来处理代数问题，使问题简单化，又具备数的特征，可以将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.向量又是联系数与形的纽带，正是因为平面向量具有“数”与“形”的双重身份，因此，在解决平面向量问题时，可以根据平面向量的代数形式，建立实际的几何图形，通过对几何图形的理解，解决代数问题，进而培养学生的直观想象素养.

例2  已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（  ）.

A.-2   B.-32

C.-43   D.-1

解法1 （代數直观）如图2所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，3）.设P（x，y），则PA=（-x，-y），PB=（2-x，-y），PC=（1-x，3-y），PA·（PB+PC）=2x-342+2y-342-32.

当且仅当x=34且y=34时，PA·（PB+PC）有最小值-32，故选B.

点评 解法1应用了“数形结合”的基本思想，这也是平面解析几何的核心思想所在，就是通过平面直角坐标系，将图形问题转化为代数问题，通过代数运算解决几何问题.同时，几何图形又为代数运算提供了直观的模型.

解法2 （几何直观）如图3所示，取BC的中点D，则PB+PC=2PD，

PA·（PB+PC）=2PA·PD.

要使PA·PD最小，则PA与PD方向相反，

即点P在线段AD上，则2PA·PDmin=-2PA·PD，

问题转化为求PA·PD的最大值.

又因为PA+PD=AD=3，

由基本不等式可得，PA·PD的最大值为34，

当且仅当PA=PD=32时取得最大值，

所以PA·（PB+PC）有最小值-32，故选B.

点评 向量既有数的特征，又有形的特征，利用向量运算的平行四边形法则化简所求的向量，再结合图形特征，通过基本不等式加以解决，达到了化难为易的效果.

3.3 利用直观想象解决立体几何问题

立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，《课标》要求应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则.因此，教师在教学设计和帮助学生解决问题时，要用学生熟悉的长方体这一直观模型，让学生借助长方体模型，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系.对于一些较难的几何问题，可以将其放在直观模型长方体中加以解决，达到化难为易的目的.

例3 已知球O的直径SC=4，A，B两点在球面上，∠ASC=∠BSC=30°，

则三棱锥S-ABC的体积的最大值是.

解法1 构造体积函数计算

如图4所示，因为球O的直径SC=4，

∠ASC=∠BSC=30°，

所以Rt△ASC≌Rt△BSC，AC=BC=2，

SA=SB=23.

取AB的中点D，连接SD，CD，

则AB⊥SD， AB⊥CD，从而AB⊥平面SCD.

设AB=2x，则SD=12-x2，CD=4-x2，

在△SCD中，由余弦定理得：

cos∠SDC=SD2+CD2-SC22SD·CD=-x212-x2·4-x2，

sin∠SDC=1-cos2∠SDC=43-x212-x2·4-x2，

S△SCD=12SC·CDsin∠SDC=23-x2，

三棱锥S-ABC的体积V=13S△SCD

·AB=43x2（3-x2）≤43×32=2.

当且仅当x2=3-x2，即x=62时等号成立，即当AB=6时，三棱锥S-ABC的体积的最大值是2.

点评 将几何问题代数化是求解几何问题中最值问题的常用方法之一.根据题目中图形的直观特征——圆的直径所对的圆周角是直角，设置适当的自变量，将三棱锥的体积表示为自变量的函数，问题就转化为函数的最值问题了.

解法2 构造长方体模型计算

如图5所示，将三棱锥S-ABC放在长方体中，

VS-ABC=VB-SAC，当平面SAC⊥平面SBC时，

三棱锥B-SAC的体积最大，此时，

BD⊥平面SAC，在Rt△SBC中，

BD=SB·BCSC=3，

VB-SAC=13S△SAC·BD=13×12×23×2×3=2，

故三棱锥S-ABC的体积的最大值是2.

点评 通过对题目中的数学问题的分析，构建出数学问题的直观模型——长方体，将三棱锥放置在长方体中，很容易直观地看出，当两个平面垂直时，三棱锥的体积最大.

3.4 利用直观想象解决函数、导数和不等式问题

导数题常以线性函数与指数函数和对数函数的组合形式出现，考查导数的运算法则、极（最）值的求法，考查分类讨论及数形结合思想，考查等价转化能力及逻辑推理能力，难度较大.要想化解导数题目的难度，只要把函数的图像作为切入点，就可以找到题目的突破口，达到化难为易的效果.纵观近几年高考数学中的导数大题，其题目的呈现往往以我们熟悉的不等式ex≥x+1、ln x≤x-1等为载体，通过变形或适当重组，形成一道新颖的题目.其中不等式ex≥x+1的证明中蕴含着丰富的数学素养，即代数构造与几何直观.

3.4.1 构造函数：证明不等式ex≥x+1

证明 设f（x）=ex-x-1，x∈R，则  f′（x）=ex-1.

当x∈（-∞，0）时，f′（x）<0，函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，

当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，函数f（x）在区间（0，+∞） 上单调递增.

因此，f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.

点评 “比较法”是证明不等式的常用方法之一，对于上述的不等式，若用“比较法”不易证明.而構造函数，利用导数判断函数的单调性，通过求函数的极值证明不等式是又一种证明不等式的重要方法.通过对上述不等式结构特征的分析，可以进行适当的代数构造，这也是直观想象的一种表现.

3.4.2 不等式ex≥x+1的直观解释.

如图6所示，在同一坐标系内作出函数y=ex及y=x+1的图像，通过两个函数的图像可以直观地看出对任意的实数x，ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.事实上，直线y=x+1就是曲线y=ex在x=0处的切线.

点评 通过对不等式结构的观察，可以直观地感知两个熟悉的函数y=ex与y=x+1，进一步可以发现直线y=x+1就是曲线y=ex在x=0处的切线.在熟悉的情境中，建立不等式的几何图像，通过对几何图像的认识，得出了不等式的几何解释，体现了直观想象在证明不等式中的应用.

3.4.3 不等式ln x≤x-1的直观解释.

对于熟悉的不等式ex≥x+1，两边取自然对数得x≥ln（x+1），

用x-1代替x可得ln x≤x-1，当且仅当x=1时等号成立.从导数的几何意义可得，函数y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1，在同一坐标系内作出函数y=ln x及y=x-1的图像，通过两个函数的图像可以直观地看出对任意的实数x，ln x≤x-1，当且仅当x=1时等号成立.

点评 《课标》中对直观想象素养进行了不同水平层次的划分，让学生能够通过直观想象提出数学问题，能够用图形探索并解决问题.通过对函数y=ln x及y=x-1图像的观察，可以提出一个不等式ln x≤x-1的证明问题，当然也可以通过图像探索不等式的证明思路.这正是直观想象的魅力所在.

4 教学建议

4.1 关注直观想象认知，提升直观想象素养

在整个高中学习阶段，很多学生都会有这样的错误认识，他们认为“直观想象”只在立体几何中存在，其实不然，“直观想象”贯穿整个高中阶段的数学知识.以“集合”的相关概念为例，其每一个概念都要用文字语言、图形语言、符号语言表述.再比如在“基本初等函数”中，每一个函数都有其对应的图像，要想学好基本初等函数，就要熟悉每一个函数的图像，通过函数的图像才能认识函数的性质.因此，教师从高一开始，就应该注重对学生进行直观想象素养的培养，提高学生的学习兴趣.

4.2 关注数形结合，提高解题效率

著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”这句话形象地说明了数形结合的重要性.在平时的学习中，学生将一个数学问题代数化和几何化，一方面可提高自身的代数素养和几何素养，另一方面可以提高解决问题的效率.例如案例1中的抽象函数问题，直接解决显得困难，但如果根据函数的性质，画出函数的大致图像，通过观察图像，问题便迎刃而解.

4.3 注重信息技术应用，提升学生创新意识

在“互联网+”时代下，信息技术与数学学科进行了完美融合.信息技术承担了多种角色，它既是学生获取知识、合作交流的工具，也是学生学习的工具.例如，在函数图像的绘制中，学生可以通过描点法画出一些基本函数的图像，对于一些复合函数的图像，用描点法不易画出.而借助几何画板，学生就可以很容易画出图像.利用几何画板，学生也可以提出一些具有挑战性的数学问题，进而培养创新意识.

直观想象作为高中数学六大核心素养之一，它的培养必然落实在课堂教学中，必然落实在一线教师的教学实践中.这就需要我们一线教师深刻领会每一个核心素养的内涵、价值、表现和目标.在日常的教学活动中，教师应深入挖掘教学内容，合理搭建培养学生直观想象素养的平台，引导学生养成利用直观想象解决问题的习惯，引导学生利用图形描述数学问题，利用图形解决数学问题，让学生学会构建数学问题的直观模型，最终有效提升学生的数学核心素养水平.

【参考文献】

[1]林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017.