江方记

（深圳职业技术学院 机电工程学院，广东 深圳 518055）

渐开线花键冷加工成形的工艺技术，在高精度的花键类零件的生产实践中得到越来越广泛的应用。渐开线花键滚前毛坯料直径计算的精确与否，会影响花键加工过程中的分齿精度，也是渐开线花键类零件进行模具设计时要重点参考的计算数据。[1]目前，很多科技文献资料都涉及花键滚前直径的计算，但多数计算依据都来自生产经验的总结，其理论推导不够精确，计算过程较烦琐，且多数只是针对直齿花键滚前径进行推导计算，几乎没有针对渐开线花键的滚前毛坯直径的计算。[2]本文基于渐开线花键滚前径计算的基本原理，以及展成法和微积分面积法的分析，对渐开线花键滚前径的计算方法进行了初步研究，为渐开线花键加工的滚轧轮设计提供了理论计算依据。[3]

1 渐开线花键滚前径的计算原理

当渐开线花键的模数小于1.5时，加工方法一般是采用不去除材料的搓齿成型工艺，如图1所示。由于渐开线花键搓齿前后工件的体积、重量和长度不变，所以搓齿前后的渐开线花键的工件横截面积相等，这是计算渐开线花键滚前径的基本原理[4]。

图1 渐开线花键搓齿成型工艺示意

如图2所示，假设渐开线花键搓齿前的毛坯直径是d，搓齿后花键的齿数是Z，小径是d1，一个花键齿的面积是SC，则搓齿前后工件的面积分别为[5]：

图2 渐开线花键滚前径计算原理示意

渐开线花键搓齿前毛坯的面积

渐开线花键搓齿后毛坯的面积

因为渐开线花键搓齿前后毛坯的面积相等，则

式（3）即是计算渐开线花键滚前径的基本公式。

2 渐开线花键滚前径的计算方法

2.1 基于展成法计算渐开线花键滚前径

由式（3）可以求出渐开线花键搓齿前毛坯件的直径：

由式（4）可知，当已知一个花键齿的面积SC时，则可计算渐开线花键搓齿前毛坯件直径。

基于展成法加工渐开线齿轮时，齿条刀具的基准线与齿轮毛坯件啮合运动，即可加工齿轮的齿形。渐开线花键的搓齿加工过程类似于齿条齿轮的零间隙啮合运动，这时搓齿板齿槽部分的体积和渐开线花键齿廓的体积是相等的，即齿槽的横截面积等于渐开线花键齿廓的横截面积[6]。因此，计算渐开线花键一个齿廓的横截面积，也就是计算搓齿板的一个齿槽的横截面积，该齿槽的结构示意图如图3所示，图中符号de表示齿顶圆直径，df表示分度圆直径，d1表示齿根圆直径。搓齿时，渐开线花键的分度圆与搓齿板的分度线相切，渐开线花键分度圆处的弧齿厚（Sf）的弦长S等于搓齿板分度线处的齿槽宽S，搓齿板齿槽的半角等于渐开线花键的分度圆压力角。根据以上原理，可推导渐开线花键一个齿的面积Sc的计算公式。

图3 搓齿板的齿槽

如图4所示，渐开线花键在分度圆处的弦长计算公式为：

图4 渐开线花键齿的弧长和弦长

由图3可推导出参数A、B和H的尺寸计算公式：

由式（6）式（7）和式（8）推导出搓齿板齿槽的面积SC为：

将式（5）代入式（9），整理得出：

将式（10）代入式（4），整理得出：

2.2 基于微积分面积法计算渐开线花键滚前径

研究基于微积分面积法计算渐开线花键滚前径，关键在于渐开线方程的应用。如图5所示，A为渐开线在基圆上的起始点，K为渐开线上任意点，其半径用rx表示，θx表示展角，αx表示压力角。

图5 渐开线形成示意

由图5中的ΔQCK可得到如下方程：

又因为

所以：

由上式可知，展角θx是随着压力角αx的变化而变化的，所以只要我们预先知道了渐开线上点的压力角αx，则对应该点的展角θx就可以由式（14）计算出来，工程上通常用invαx来表示θx，即

综合以上分析，可得出齿轮渐开线曲线的方程式为式（12）和式（15），它们是基于微积分面积法计算渐开线花键滚前径的理论基础。

在图6（a）中，要计算渐开线花键从齿根θ1到齿顶θe的面积，只需计算出渐开线花键齿根圆D点到齿顶圆C点的面积S1，S1的计算公式如下：

图6 渐开线外花键齿形面积计算示意

齿顶圆弧的扇形面积S2的计算公式如下：

上式中的参数BC为花键的齿顶宽Se，此值可由下面的式子求出：

将式（17）代入式（16），整理得到齿顶圆扇形面积S2：

同理，可根据图6（b）所示的示意图，求出齿根圆的扇形面积S3：

由图（6）所知，一个花键的面积Sc为：

将式（15）式（18）式（19）代入式（20），整理后得到渐开线花键齿的面积：

如果渐开线花键的齿数为Z，则搓齿后渐开线花键的横截面积：

渐开线花键搓齿前毛坯件的面积SA为：

因为SA=Sm，则根据式（21）式（22）式（23）整理得到渐开线花键滚前径：

2.3 两种算法的比对分析和改进建议

基于展成法计算渐开线花键滚前径时，由于花键齿的齿根是自然形成圆弧状的，所以计算出的滚前径会比较大，特别是齿根圆弧半径大一些的花键，其键滚前径的计算结果要大得多。基于微积分面积法计算渐开线花键滚前径时，由于花键的齿根没有圆弧，所以计算出的滚前径一般会偏小。为了使得渐开线花键滚前径的计算结果比较理想，可以取花键的大径、小径、分度圆齿厚的中间值进行计算。滚前径的公差一般不允许大于0.04，上、下极限偏差推荐取±0.02。

在渐开线花键搓齿加工过程中，也可能会存在以下几种情况，会对滚前径的计算结果产生一定的影响。一是渐开线花键轴除了存在径向变形外，还存在轴向变形。由于花键的轴向变形小，在计算滚前径时。一般都忽略不计二是同型号的渐开线搓齿板会存在齿顶高的误差，齿板也会存在无规律的磨损等齿形误差，所以计算出的滚前径最好经过试搓试验，然后根据实际搓齿的结果对计算出的滚前径进行适当调整，以达到最佳的效果。

3 结语

本文基于渐开线花键滚前径的计算原理，研究了滚前径的两种计算方法，对两种计算方法进行对比分析研究并提出了具体的改进建议。渐开线花键滚前坯料直径的精确计算，可以为滚轧轮的设计提供可靠的理论计算依据7。