■福建省泉州市第七中学

求解圆锥曲线离心率的取值范围，常涉及列不等式、三角形中角的变化，圆锥曲线的定义、性质等知识点，综合性强，计算量大。很多同学解题时感到吃力，甚至半途而废，若掌握问题本质，解题就变得容易了。下面给出由圆锥曲线离心率引起的十类变式，希望同学们在阅读完这些题目后能有所收获！

图1

例1双曲线=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )。

A.(1，3) B.(1，3]

C.(3，+∞) D.[3，+∞)

解法一：利用三角形正余弦定理。

解法二：利用三角形的两边之和大于第三边，及两边之差小于第三边。但要注意可以取到等号成立，因为可以三点共线。

设|PF2|=m，则|PF1|=2m，|PF1|-|PF2|=m=2a。又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(当且仅当P，F1，F2三点共线等号成立)，所以3m≥2c，6a≥2c⇒e=。

又e＞1，故e∈(1，3]，选B。

解法三：利用焦半径公式确定a与c的关系。

设点P(x0，y0)(x0≥a)，则由焦半径公式可得|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a。因为|PF1|=2|PF2|，所以ex0+a=2(ex0-a)，解得x0=。因x0=≥a，故e≤3。又e＞1，故e∈(1，3]，选B。

解法四：数形结合和有界性。

因为|PF1|-|PF2|=2a，且|PF1|=2|PF2|，所以|PF2|=2a。即在双曲线的右支上恒存在点P，使得|PF2|=2a。由图1可知|AF2|≤|PF2|，故|OF2|-|OA|=ca≤2a，c≤3a⇒e=。

又e＞1，故e∈(1，3]，选B。

理解了这道题的解法及对策后，我们再来看看一些同类变式题，有助于我们解决此类问题！

同类变式1：已知双曲线0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e，且|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为( )。

图2

解析：可采用例1的解法四。如图2所示，|PF1|-|PF2|=(e-1)|PF2|=2a⇒|PF2|

由解法四可知：

A.(1，+∞) B.(0，3]

C.(1，3] D.(1，2]

同类变式3：已知点F是双曲线=1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率e的取值范围是( )。

图3

解析：可采用例1的解法一。如图3 所示，设∠AEB=θ＜90°，由双曲线的对称性及通径可知，∠AEF=。……