■河南省驻马店市第一高级中学

在圆锥曲线中常常涉及与动点、动直线、动弦、动角以及轨迹有关的最值问题，这些最值问题覆盖面广、解题灵活，近几年的高考题中此类问题经常出现。它往往与二次函数，三角函数等知识联系在一起，有一定的综合性，不容易掌握。下面举例介绍几种常见的最值问题求法，仅供参考。

一、构建目标函数求最值问题

例1(2017年浙江高考题)如图1，已知抛物线x2=y，点，抛物线上的点P(x，y)，过 点B作直线AP的垂线，垂足为Q。

图1

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值。

二、转化为平面几何知识求最值问题

例2如图2，已知x，y满足1，求z=y-3x的最值。

分析：将所给的函数式改写为y=3x+z，则它表示斜率为3 的平行直线系方程，z是直线在y轴上的截距。由图2 易知：在区域G：≤1内，z的最大、最小值在直线与椭圆相切时取得。

图2

解：将y=3x+z代入=1，得169x2+96zx=16z2-400=0。

由Δ=0，得z=±13。

故所求的最大值为13，最小值为-13。

点评：若题目中的条件和结论有着明显的几何特征和意义，借用平面几何知识解决问题可以大大简化计算。

三、利用均值不等式求最值问题

例3(2017 年全国Ⅰ卷理科数学第10题)如图3，已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( )。

图3

A.16 B.14 C.12 D.10

解：因为抛物线C的方程为y2=4x，所以焦点为F(1，0)。

点评：有些求最值问题，可以先把要求的最值用参变量来表示，然后用基本不等式来解决，这时往往需要创造条件，进行巧妙构思。基本不等式是解最值问题的一种有效途径，但要注意验证等号是否成立。……