高志贤，杨标桂

（福建师范大学数学与信息学院，福建福州350117）

Fibonacci 数列{Fn} 满足二次线性递推关系Fn+2=Fn+1+Fn, F0=0,F1=1.Fibonacci 数列在数论研究和数学应用中占有十分重要的地位, 诸多学者从各方面对该数列的性质进行了深入的研究, 其中包含了对该数列倒数的有限和及无穷和的研究[1-4].Ohtsuka和Nakamura在2009年得到了关于Fibonacci数列倒数的无穷和的取整公式[5]:

近年来, 有学者对上述公式进行了多种形式的推广.如Wang 和Wen 将Fibonacci 数列推广到倒数的有限和[6]:

（ⅰ）若n ≥4,有

（ⅱ）若m ≥3,n ≥2,有

（ⅲ）若m ≥2,n ≥1,有

一些学者把Fibonacci数列推广至广义Fibonacci数列, 从而来研究广义Fibonacci 数列的倒数的无穷和[7-10].Holliday 和Komatsu 在2011 年定义了广义Fibonacci数列[11]：

其中: a ≥1 且为整数, 当取a=1 时会得到Fibonacci数列.他们同时也研究了关于广义的Fibonacci 数列的倒数无穷和：

在上述研究的基础上, 本文主要研究广义Fibo⁃nacci 数列两项乘积倒数的有限和的情况, 从而推导并证明了恒等式：

及

1 Gk-1Gk+1 的倒数和

引理1[12]GmGn-GpGq=(-1)m+1Gn-pGn-q, (n ＞max { p,q}, m+n=p+q).

引理2[12]GmGn+Gm+1Gn+1=Gm+n+1.

定理1若n ≥2,m ≥2,则:

证明:由Gn+1=aGn+Gn-1得

所以

那么

因此

对于任意的k ≥1有

那么

所以

由引理2可知

由此可得

由式(1)和(2)可得

即

从而有

推论1若n ≥2,则:

证明:在定理1中取m为∞时,即可得到推论1.

2 Gk-1Gk+1 倒数的交错和

2.1 引理及证明

对于n ≥3,定义

引理3若n ≥3,则f ( n )+ f ( n + 1 )＞0.

证明: ①当n为奇数时,不等式显然成立.②当n为偶数时,由引理1得

令

由引理1可知

所以, 当n 为偶数时, A＞0, 因此可得f( n )+f( n+1 )＞0.

引理4若n ≥3,m ≥3,则:

证明:①当mn为奇数时f( mn )＞0,结论显然成立.

②当mn为偶数时,由引理1可得

由引理3可得

由引理2得

从而

因此

引理5若n ≥3,则:

证明:由Gn+2=aGn+1+Gn得

引理6若n ≥4且为偶数,则:

证明:由引理1得

令

由引理1可得

又由引理5可知B ＜0,即引理得证.

引理7如果n ≥4且为偶数,有:

证……