邓辉咏，何循来，吴大林，熊 超

（1.陆军工程大学石家庄校区，火炮工程系，河北 石家庄 050003；2.南通理工学院，机械学院，江苏 南通 226002）

1 引言

某型大口径榴弹炮，自重约3t，可以直升机吊运，具有很好的战术机动性，非常适合山地作战，在山地作战中需要精确定点拔除敌方工事，因此对火炮射击精度要求较高。采用试验的方法研究改进火炮的射击精度，费效比低，目前国内最有效可行的方法大多基于虚拟样机技术，建立火炮动力学仿真模型研究火炮的动力学特性。

为了得到更精确的虚拟样机，需要准确把握各机构的相对运动关系及其力学本质，文献[1]通过建立齿轮齿弧的精确三维模型，基于Hertz 接触模型，建立了某车载炮的动力学模型；文献[2]根据火炮高低机中具有碟簧缓冲装置的实际，建立了考虑碟簧缓冲作用的火炮动力学模型；文献[3]基于有限段法，研究了弹丸在膛内的运动对炮口扰动影响；文献[4]采用非线性有限元法，建立考虑弹炮耦合作用的某牵引火炮有限元模型，研究弹、炮结构参数对弹丸起始扰动的影响；文献[5，6]用非线性弹簧阻尼模型研究了耳轴间隙在火炮射击过程中对炮口运动的影响。

火炮射击前通过转轮进行方向瞄准，射击时，由于蜗轮蜗杆的反向自锁作用，转轮保持不动。考虑方向机的建模有扭簧法替代[7]和回转轴承大规模接触/碰撞法[8]，回转轴承的接触/碰撞属性显然比扭簧替代法更能反映问题实际，但实际上，射击过程，由于轴承游隙和齿侧间隙的存在，回转轴承不只径向移动，还绕其回转中心转动，这是一种耦合运动，不能只考虑某一个间隙，而因该整体考虑。

2 回转部分力的传递关系

回转部分机构关系简图，如图1 所示。方向机齿轮是方向机的输出齿轮，方向机本体与上架固定。方向机齿轮与回转齿圈啮合，回转齿圈与回转轴承的外圈和下架固定在一起，为不动部分，回转轴承内圈与上架固定在一起，为回转部分。

图1 回转部分机构关系简图Fig.1 Mesh Relationship Diagram of Traversing Mechanism

射击时，由于方向机具有反向自锁作用，方向机齿轮不动，炮膛合力在水平面内的不平衡力矩带着回转部分有旋转的趋势，该不平衡力矩经回转轴承内圈->滚子->回转轴承外圈->齿圈->方向机齿轮，方向机中有缓冲装置吸收不平衡力矩带来的冲击，保护方向机中的零部件。

3 考虑间隙的方向机力学模型

牵引火炮动力学模型的建立方法在许多文献中均有论述，这里不赘述，这里重点对考虑间隙的方向机力进行建模。

为了内外圈转动灵活，回转轴承存在游隙；另外，对于渐开线齿轮，为了不产生干涉，两啮合齿间存在齿侧间隙。为了讨论的方便，做如下假设：（1）回转轴承的游隙沿径向是均匀的；（2）在射击时，方向机齿轮某个齿刚好落在齿圈某两个齿中间，即左右齿侧间隙相等。

3.1 建模方案

为同时考虑轴承游隙和齿侧间隙，在上架与下架间建立一个质量和惯量为0 的哑物体，为在数值计算时不产生奇异，可将质量和惯量设为小值。（1）哑物体与下架间通过旋转副约束，并通过一个双向扭力约束转动方向的自由度，模拟方向机齿轮与齿圈的作用；（2）哑物体与上架通过平面副和垂直副约束，上架相对于哑物体只有在水平面内两个平动自由度，用一对相互垂直的双向力约束两个平动自由度，模拟回转轴承的内部作用。

3.2 双向力和双向扭力力学模型

含间隙铰的建模方法主要：连续接触模型、经典碰撞模型和连续接触力模型。连续接触力模型考虑了变形位移以及变形速度的综合作用，能够计及碰撞对的法向力、切向力以及阻力。其力学模型一般采用基本Hertz 接触理论的Lankarani-Nikravesh 非线性等效弹簧阻尼模型表征[9]。

式中：Fn—接触点处的径向接触力；kn—径向的等效接触刚度，据经验取常数；δ—接触元素的相互渗透深量；δ˙—相互渗透速度；e—非线性因子；c—阻尼系数，其表达式为：

式中：ce—恢复系数；δ˙（-）—撞击点初始相对速度；在实际建模过程中一般取经验值或取刚度值的（0.1～1）%。

由于回转轴承和齿轮齿圈啮合均充分润滑，切向摩擦力与法向力相比很小，因此暂不考虑切向力的影响。

根据假设，则双向力的力学模型可表示为：

式中：h—上架与哑物体在水平面内沿坐标轴的相对位移量。

双向扭力模型与双向力模型一致，只需将接触刚度转换成扭转刚度，其关系式为：

式中：R—齿圈节圆半径；kT—扭转刚度。

阻尼的转换关系式与刚度具有相同的形式，其位移和速度则是下架与哑物体绕回转中心的相对角位移量和角速度。

3.3 双向力模型刚度计算

回转轴承滚子受力图，如图2 所示。

图2 回转轴承滚子受力图Fig.2 Stress Diagram of Roller of Traversing Bearing

由于滚道的存在，当座圈受到径向作用力，其产生的接触力也是径向的。滚子与内外滚道的接触是典型的Hertz 接触问题，要用Hertz 求取经典解，需要求解椭圆率参数K、第一类椭圆积分Γ、第二类椭圆积分Σ和接触体几何尺寸间关系的超越方程，由于这种方法比较难于求解，采用布鲁和哈姆克借助最小二乘法用线性回归得到的 K、Γ 和Σ[10]：

对于球与内外滚道的接触：

式中：D—滚子直径；r—内外滚道的曲率半径；Dm—滚子回转中心圆直径；Rx的表达式中；“+”—外滚道接触；“-”—内滚道接触。则接触变形与应力的关系为：

式中：δ—接触变形；Q—接触力；Σρ—滚子、滚道在轴向平面、径向平面的主曲率和。

得到滚子与内外滚道接触变形与接触应力关系后，用力法进行求解，对于轴承的径向变形，滚子变形的几何关系满足：

轴承的轴向变形，滚子变形几何关系满足：

根据上述方程即可求取各个方向的接触刚度，由于回转轴承具有对称性，因此互相垂直的两个双向力刚度相等。

3.4 双向扭力模型扭转刚度计算

双向扭力模型主要是模拟齿轮的接触，对于齿轮接触，除了有接触变形还有弯曲变形和剪切变形，另外齿宽和重合度也会对轮齿的啮合刚度有影响。在这里采用Y Cai 提出的啮合刚度模型计算齿轮的啮合刚度。

用Y Cai 模型计算时变啮合刚度[11]，在单齿啮合情况下，其表达式为：

式中：X—作用线上，从啮入点到啮出点的啮合位置，X 的原点取节点位置：

式中：ε—总重叠系数；εa—端面内重叠系数；tz—端面内转过一个基节的啮合时间。

Ca—与齿轮结构参数有关的量：

式中：β0—节圆上的螺旋角；B—有效齿宽（mm）；H—全齿高（mm）。

Kp—接触刚度幅值点，对于普通材质的齿轮，其值也是与齿轮结构参数有关的量：

式中：mn—齿轮副法向模数，啮合刚度的单位为N/μm。

当重合度ε>1 时，齿轮接触对的综合啮合刚度为：

式中：I=int（ε-1）。

根据假设，取t=0 时刻的啮合刚度：

从式中可以看出，啮合刚度为与重合度、模数、齿宽等结构参量有关的量。啮合刚度与模型中扭转刚度的关系，如式（4）所示。

4 仿真计算

齿侧间隙和回转轴承的游隙其设计值均为0.1mm，考虑到使用过程中的磨损，分别对间隙值和游隙值为0.2mm 和0.5mm的情况进行发射动力学仿真，考查炮口横向角位移θh、横向角速度ωh情况。齿侧间隙和回转轴承游隙单独作用及共同作用对θh的影响，如图3～图5 所示。

从图3 可以看出，回转轴承间隙的影响显著，间隙增大到0.5mm 后，其扰动幅值是初始间隙的两倍。这是由于反后坐装置的复进机力和驻退机力是一对不平衡力，在回转平面内产生不平衡力矩。在炮身后坐时，这一不平衡力矩使得炮身向驻退机一侧旋转。由于间隙的存在，回转部分初期处于自由状态，此时受到的力作用和边界条件相同，因此其运动状态基本一致。间隙越大，回转部分回转角度越大，轮齿接触时的相对运动速度越大，碰撞力越大，炮口扰动越明显，炮口横向角位移越大。

图3 回转轴承游隙为0.1mm 时，随齿侧间隙变化曲线Fig.3 Changing Curve by the Backlash in Circular Tooth when the Clearance of Gear Ring was 0.1mm

图4 齿侧间隙为0.1mm 时，随回转轴承游隙变化曲线Fig.4 Changing Curve by the Clearance of Gear Ring when the Backlash in Circular Tooth was 0.1mm

从图4 中可以看出，回转轴承游隙影响不明显阶段比齿侧间隙影响长（前者约为0.3s，后者为0.1s），幅值随齿侧间隙影响较小。这是由于在相同齿侧间隙下，齿圈游隙越大，在炮膛合力作用下，回转部分在后坐方向的自由行程增长，后坐方向接触力增大，但该接触力影响回转运动，炮身横向角位移不变。后期炮口横向角随间隙变化出现不一致性，是齿圈游隙和齿侧间隙耦合作用引起的。

图5 齿圈游隙和齿侧间隙均变化时的曲线Fig.5 Changing Curve by Both the Backlash in Circular Tooth and the Clearance of Gear Ring

从图5 中可以看出，当齿侧间隙和回转轴承游隙共同作用时，曲线形状和幅值与图3 有较高的相似性，说明齿侧间隙是引起炮口横向角位移的主要因素。

图6 齿圈游隙为0.1mm 时，随齿侧间隙变化曲线Fig.6 Changing Curve by the Backlash in Circular Tooth when the Clearance of Gear Ring was 0.1mm

图7 齿侧间隙为0.1mm 时，随齿圈游隙变化曲线Fig.7 Changing Curve by the Clearance of Gear Ring when the Backlash in Circular Tooth was 0.1mm

图8 齿圈游隙和齿侧间隙均变化时的曲线Fig.8 Changing Curve by both the Backlash in Circular Tooth and the Clearance of Gear Ring

齿侧间隙在转轴承游隙单独和共同作用对炮口横向角速度的影响，如图6～图8 所示。从图中可以得到与炮口横向角位移相似的结论。不同之处在于：在运动后期ωh变化激烈，角速度曲线表现出了强非线性，从幅值来看，当轴承游隙为0.1mm 时，ωh反而最大，这是齿圈游隙和齿侧间隙耦合运动产生。

5 结论

基于虚拟样机技术，建立了考虑回转轴承游隙和齿侧间隙的某型火炮发射动力学模型，讨论了回转部分间隙非线性建模方案，回转轴承径向支撑刚度以及齿圈与方向机输出齿轮啮合刚度计算方法，最后分别对齿侧间隙、回转轴承游隙以及其共同作用对炮口横向角位移和角速度进行了仿真，仿真结果显示：（1）齿侧间隙越大，炮口横向角位移位移越大，当间隙增大到0.5mm 时，横向角位移幅值约为初始间隙幅值的2 倍；（2）齿圈游隙对炮口横向角位移的影响不显著；（3）在考虑齿圈游隙和齿侧间隙共同作用时，齿侧间隙是引起炮口横向角位移与角速度的主要因素，两因素共同作用与齿侧间隙单独作用曲线有较高的一致性；（4）由于两因素的耦合作用，炮口横向角速度曲线在运动后期产生了强非线性。