中国重庆市长寿第一中学校 重庆 401220

1 麦克斯韦速率分布函数与普朗克黑体辐射定律的相似性

我们从分布函数上可以直观看出二者具有高度相似性(图略),下面本文从理论上进行比较分析:

麦克斯韦速率分布函数为f(v)＝d N/(Ndv)＝4π[m/(2πk T)]1．5v2e[－mv2/(2kT)]。

普朗克黑体辐射定律I＝2hν3/[c2(ehν/kT－1)],而 ρv＝8πhν3/[c3(ehν/kT－1)]。

1．1 能量分析 假设一对正负电子湮灭产生一对光子,不考虑正负电子的静能,有2×1/2mv2＝2hν,则ν＝mv2/(2h)。我们假设恒星表面的正负电子满足理想分子麦克斯韦速率分布律。

1．1．1 从热力学角度的能量分析

根据前面的公式有d N＝N4πv2[m/(2πk T)]1．5e[－mv2/(2kT)]dv,则有

1．1．2 从量子力学角度的能量分析

1．2 公式的整合 根据上述推导公式有2πNm[m/(2πk T)]1．5v5/5＝πm3V/(h2c3)(m/h)v8/8,变形得 m3V v8/(8h3c3)＝2N v5/5[m/(2πk T)]1．5,即 Vv3/(8h3c3)＝[2N/(5m3)][m/(2πk T)]1．5。由理想气体克拉伯龙方程p V＝NRT/NA得V＝NRT/(NAp),V2＝ [NRT/(NAp)]2,而前式两边平方得 V2v6/(64h6c6)＝N2/(50m3π3k3T3),代入上式变形得N2R2T2v6/(64h6c6N2Ap2)＝ N2/(50m3π3k3T3),故 有25m3v6π3k3R2T5＝32N2Ah6c6P2。又因为 k＝R/NA,则上式变形为25m3v6π3k5T5＝32h6c6p2。考虑到高温的正负电子气对应的平均动能Ek＝mv2/2＝3k T/2,有 mv2＝3k T,代入前式得675π3k8T8＝32h6c6p2,即

1．3 推论 基于前面的公式675π3k8T8＝32h6c6p2,而p V＝nRT＝(N/NA)RT＝Nk T,有p＝Nk T/V,近似认为N不变代入前式得出675π3k8T8＝32h6c6(Nk T/V)2,变形得675π3k6T6V2＝32h6c6N2,有 VT3＝C(C是近似定值)。

2 对恒星发光的科学建模

2．1 理论建模 诸如太阳之类的恒星处于主序星时期,对应发生的热核反应可以简化为:

2．2 对太阳发光中湮灭反应的能量占比的估算 对于氢的聚变反应:mp＝1．007825u,me＝0．0005486u,mα＝4．00260u,△m＝4mp－mα－2me＝0．0276028u;而对于一对正负电子湮灭发生的反应:△m′＝2me＝0．0010972u。由狭义相对论质能方程△E＝△mc2得出,在忽略正负电子的初动能的情形下,湮灭反应的能量占比为η＝2△m′/(△m＋2△m′)×100%＝7．36445%。

2．3 能量建模 考虑到正负电子的初动能Ek＝mev2/2,而对电子,考虑所受到的太阳的万有引力作用,有

换一个思路,从热力学理论角度看,考虑是高温电子气体,则由麦克斯韦分子速率分布律得出: