李长春

在精彩纷呈的初中数学大舞台上，45°的角一直扮演着重要的角色，虽是配角，但其常与作为主角的二次函数图像联袂演出一幕幕压轴大戏。众所周知，等腰直角三角形的底角为45°，因此，当题目中出现45°角时，我们往往要构建等腰直角三角形，将角相等转化为边相等，从而使问题迎刃而解。

一、借助坐标轴，构建等腰直角三角形

例1 如图1，抛物线y=a（x-m）2+n （a<0，m>0，n>0）交y轴于点P，点A为抛物线的顶点，设直线PA与y轴所夹的角为45°，当A为抛物线的顶点时，求am的值。

【思路分析】如何用好条件中的“直线PA与y轴所夹的角为45°”是解题的关键，此时可根据45°角构造等腰直角三角形，结合抛物线顶点坐标表示出关键线段的长，借助线段之间的关系列出等式求解。

解：如图2，过点A作AH⊥y轴于H。

因为y=a（x-m）2+n=ax2-2amx+am2+n，所以P（0，am2+n）。

因为A（m，n），所以AH=m，OH=n。

因为∠APH=45°，所以PH=AH=m。

由PH+OP=OH，得m+am2+n=n，即am2=-m，

又因为m>0，所以am=-1。

二、借助“一线三等角”，构建等腰直角三角形

例2 如图3，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C。Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标。

【思路分析】由45°角联想到等腰直角三角形，以AC为直角边在第四象限构造等腰直角三角形，借助直角坐标系的直角构造“一线三等角”，求得等腰直角三角形第三个顶点的坐标，最后再利用等腰直角三角形斜边所在的直线与抛物线的交点求得Q点的坐标。

解：对于y=-x2+4x-3，令y=0，易得x1=1，x2=3;再令x=0，得y=-3，所以OA=1， OB=OC=3。

如图4，过点A作AD⊥AC，并且使AD=AC，连接CD，则△ACD为等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，直线CD交抛物线于点Q，则∠ACQ=45°，容易证明△DEA≌△AOC，所以DE=OA=1，AE=OC=3，不难得到点D的坐标为（4，-1），所以直线CD的表达式为y=[12]x-3。设Q（2n，n-3），因为点Q在抛物线 y=-x2+4x-3上，所以n-3=-（2n）2+4×2n-3，解得n1=[74]，n2=0（舍去），所以Q （[72]，[-54]）。……