韩卫华

我们在学习时要不断小结，在小结中继续前行。学习了二次函数的图像和性质后，我们不妨停下来回头看看，是如何确定二次函数的表达式的，或者说是如何根据题目的条件特征，更方便地确定二次函数表达式的。我们先看下面这个对比表，再通过例题解读。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（1，5），B（-1，9），C（0，8）。求这个二次函数的表达式、开口方向、对称轴和顶点坐标。

【解析】设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，

根据题意，得[a+b+c=5，a-b+c=9，c=8，]

解得[a=-1，b=-2，c=8。]

所以二次函数表达式为y=-x2-2x+8，

因为y=-x2-2x+8=-（x+1）2+9，

所以抛物线开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，9）。

【点评】题目给出的点不是顶点，也不是与x轴的交点，而是任意三点的坐标，因此，我们设一般式，将三个点的坐标代入，解这个三元一次方程组得出结果。待定系数法是求二次函数表达式最基本的方法，需熟练掌握。

例2 已知抛物线的对称轴是直线x=1，函数的最小值是-1，且圖像经过点（3，1），求此抛物线的函数表达式。

【解析】根据题意知函数图像的顶点坐标为（1，-1），所以设此函数表达式为y=a（x-1）2-1。

又因为图像经过点（3，1），

所以1=a（3-1）2-1，解得a=[12]，

所以此函数表达式为y=[12]（x-1）2-1。

【点评】在已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最值） 和另一条件的情况下，通常选择设顶点式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

例3 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

[x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 -3 -4 -3 0 … ]

求这个二次函数的表达式。

【解析】观察表格中的数据，知道二次函数的图像与x轴交于（-3，0）、（1，0）两点，所以设 y=a（x+3）（x-1），将（0，-3）代入，得-3=a×3×（-1），解得a=1，所以这个二次函数的表达式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3。

【点评】在已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标和另一条件时，通常选择设交点式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

例4 已知一个二次函数的图像经过点A（-1，0）、B（0，3）、C（2，3）。求这个二次函数的表达式。

【解析】观察给出的三点，发现B（0，3）、C（2，3）两点的纵坐标相同，它们关于直线x=1对称，所以设 y=ax（x-2）+3，将（-1，0）代入，得0=a×（-1）×（-3）+3，解得a=-1，所以这个二次函数的表达式为y=-x（x-2）+3，即y=

-x2+2x+3。

【点评】当已知二次函数图像上两点的纵坐标相同，为m时，通常选择设对称式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

【总评】二次函数是中考必考内容，压轴题中常常有它的身影，求二次函数表达式通常是压轴题的解题起点，直接影响后续的解题，因此，掌握求二次函数的表达式的方法有着非常重要的意义。教材5.3用待定系数法确定二次函数表达式，是通过确定二次函数中待定系数的值，进而确定二次函数表达式的一种方法。对此我们要善于根据题目条件选择恰当的表达式，其选择原则是：尽可能使表达式中待定系数的个数最少，方便易求。

（作者单位：江苏省江南大学附属实验中学）

小试牛刀

有一条抛物线，三名学生分别说出了它的一些性质。甲说：对称轴是直线x=2;乙说：与x轴的两个交点距离为6;丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9。请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的表达式__________。