吴智军，李朝迁

(云南大学数学与统计学院，云南 昆明650504)

1.引言

矩阵伪谱(Pseudospectra)[1]是反映和描述矩阵扰动性的一种工具，也一定程度上反映了矩阵的非正规性的程度，其在马尔科夫链[2]、微分方程数值解的稳定性[3]、动力学[4]、生态学[5]、生物学[6]、信号处理[7]等方面有广泛的应用.

定义1.1[8]设矩阵A = (aij) ∈Cn×n，ε ≥0，‖·‖是向量范数诱导的矩阵范数.称Λϵ(A) ={z ∈C:‖(zI -A)-1‖≥ϵ-1}为矩阵A的ϵ-伪谱，其等价定义如下：

1) Λϵ(A)={z ∈C:z ∈Λ(A+E)，‖E‖≤ϵ};

2) Λϵ(A)={z ∈C:∃u ∈Cn，‖u‖=1，‖(A-zI)u‖≤ϵ}.

进一步，若‖·‖是谱范数，则

3) Λϵ(A)={z ∈C:σmin(zI -A)≤ϵ}，

其中σmin(A)表示矩阵A的最小奇异值，Λ(A)表示矩阵A的谱，即矩阵A所有特征值构成的集合.

矩阵伪谱的理论研究主要包含伪谱的计算和伪谱定位集的确定.伪谱计算的算法有Grid-SVD算法[9]、Krylov子空间迭代算法[10]、块隐式重启Arnoldi 迭代算法[11-13]等.然而对于大型矩阵而言，伪谱的精确计算非常困难[14].另一方面，对于某些应用问题，如连续时间动力系统的鲁棒性[15]等，只需知道伪谱在复平面的大概位置就可以进行判断.这类应用问题研究的需求带来矩阵伪谱另一方面的研究，即矩阵伪谱的定位问题研究.

2001年，Embree 和Trefethen[16]给出基于谱范数的矩阵Gersgorin型伪谱定位集.

定理1.1[16]设矩阵A=(aij)∈Cn×n，ε ≥0，则

其中

定理1.1只考虑了矩阵行的元素，导致定位结果往往不是很精确.为此，2016年Kostic等[17]同时利用行与列的信息改进了上述结果，得到如下两个伪谱定位集.

定理1.2[17]设矩阵A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，则Λϵ(A)⊆Kϵ(A)，其中

定理1.3[17]设矩阵A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，则

其中

本文将继续研究矩阵伪谱的定位问题，给出了优于文[16-17]中结果的矩阵伪谱定位集，并应用所得结果对土壤生态系统的稳定性进行扰动分析.

2.矩阵伪谱新的定位集

本节，应……