郭猫驼，苑佳

(北京航空航天大学数学科学学院，北京100191)

1.引言

在本文中，我们研究的是不可压趋化Navier-Stokes方程（简称为趋化N-S方程），其表达式如下：

系统(1.1)描述的是不可压流体中微生物的趋化现象，关于这类方程的解的适定性问题有很多的研究工作.在2010年，DUAN和Lorz[3]证明了系统(1.1)在二维以及三维的有界区域（不含通量的边界条件）内弱解的局部存在性；随后，LIU和Lorz[4]在关于χ(c)，f(c)的假设

以及c0，Φ的初值很小的条件下，得到了系统(1.1)在二维空间中的整体存在性.在2013年，系统(1.1)的古典解在二维和三维空间中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年，Chae，KANG和Lee[6]证明了在二维以及三维空间中，系统(1.1)光滑解的局部适定性并且在Hm，m ≤3的框架中建立了解的某些爆破准则.之后，ZHANG[7]把该结果拓展到了Besov空间.同样在2014年，在κ = 1且χ(c)为常数的情况下，ZHANG和ZHENG[8]获得了能量解的整体适定性.在2017年，对系统(1.1)考虑一个额外的细菌密度增长源时，Braukhoff[9]在二维空间上建立了古典解的整体存在性和唯一性以及在三维空间下弱解的整体存在性.同时在2018年，在满足‖n0‖L1(R2)足够小并且对于χ(c)，f(c)满足χ(c)，f(c)，χ′(c)，f(c) ≥0时，解的整体适定性以及时间衰减估计在文[10]中被建立.但是在三维条件下，系统(1.1) 带有大初值问题的解是否整体存在、是否爆破依然是一个公开的问题.

我们要研究的是二维趋化N-S方程系统中的一类，其表达式如下：

对于上述系统(1.2)，在初值属于X0≜{(n0，c0，u0)|n0∈L1∩L2(R2)，n0＞0;c0∈L2∩L∞(R2)，c0＞0;u0∈H1(R2)}时，从文[1]中已经有了弱解的存在性的结果，其结果如下：

并且满足n(x，t) ＞0，c(x，t) ＞0.但是系统(1.2)弱解的唯一性研究依然是一个公开的问……