佟玉霞，杨雅琦，周艳霞

(华北理工大学理学院，河北 唐山063210)

1.引言

设Ω ⊂Rn(n ≥2)是一个有界正则区域，1 ＜p ＜n，这里正则域指的是具有有限测度并使得下文Hodge分解(引理2.1)成立的区域.例如，Lipschitz域和A型区域是正则的.

令ψ为Ω中任意取值于R ∪{-∞，+∞}的函数，θ ∈W1，r(Ω).令

其中函数ψ为障碍函数，θ为边值函数.

本文考虑非线性椭圆方程

并且B(x，ξ)满足

现在介绍引理2.1中扰动向量场的Hodge分解|∇(v-u)|p-2∇(v-u)∈Lr/(r-p+1)(Ω):

定义1.1称为(1.1)的-障碍问题的很弱解，max{1，p-1}＜r ＜p，如果

上面定义中“很弱”的含义是指解u的可积指数r可以小于自然指数p，这不同于通常的经典弱解Ω)的假设.

首先回顾很弱解的相关进展.Iwaniec在文[1]中首次提出了很弱解的概念，对p-调和张量和弱拟正则映射，其弱导数的可积性低于自然指数.此外，Iwaniec-Sbordone[2]和Iwaniec等[3]分别考虑了变分积分的弱极小和r充分接近p时的弱p-调和型方程的正则性; 通过对扰动向量场的Hodge分解的方法，得到了变分积分的弱极小和弱p-调和方程的很弱解实际上是经典意义下的弱解.另一方面，与Iwaniec使用的方法不同的是，Lewis[4]通过调和分析技术获得了某些椭圆型方程很弱解的高阶可积性.后来，Lewis的调和分析技术又扩展到p-拉普拉斯算子[5-6]的抛物型方程组，以及各种非标准增长的椭圆和抛物型方程组[7-10].这从本质上说是使用了弱导数的逆Hlder不等式从而提高可积性来实现的[11].Greco等在文[12]中研究了非齐次p-调和方程

获得了算子H的估计.郑神州和方爱农[13]研究了非线性椭圆方程组

的很弱解，并且在扰动向量场的Hodge 分解的基础上，得到了其很弱解的微……