吴晓霞，马巧珍

( 西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州730070)

1.引言

我们考虑如下带有线性记忆的波方程

时间依赖吸引子的存在性，其中u(x，t)是未知函数，h(·) ∈L2(Rn).η = ηt(x，s) := u(x，t)-u(x，t-s)，s ∈R+，ε(t)和f(u)分别满足下面的条件:

(F1) ε是单调递减的并满足:

特别地，存在L ＞0使得

(F2) 非线性项f ∈C1(R)，f(0)=0并满足

其中，当n=1，2时，0 ≤p ＜∞; 当n ≥3时，0 ≤p(n-2)≤2.

如文[1-3]，对ηt(x，s) = u(x，t)-u(x，t-s)两边分别关于t和s求导，计算后可将(1.1)化为下面的系统:

相应的初始条件为

其中

记忆核µ(·)满足以下条件:

其中ρ是正常数.

方程(1.1)可以用来描述具有衰减记忆的粘弹性固体，其中耗散性由固体周围的介质，混合材料，相场以及波现象所体现，见文[4-6].

µ恒等于零时，方程(1.1)为阻尼波方程，这类问题已经被许多作者研究过.例如，当ε为常数时，文[7-12]在半群的框架下，利用全局吸引子的概念研究了解的长时间行为.而当ε依赖于时间且为正递减函数时，我们知道即使外力项不依赖于时间，系统(1.1)仍然为非自治的，其吸引子仍在非自治的框架下理解，见文[13-18].作者在文[19-20]中研究了有界域上带有非线性阻尼和线性记忆的波方程时间依赖吸引子的存在性，文[21-23]考虑了无界域上波方程解的长时间行为.无界域上plate方程时间依赖吸引子的存在性在文[24]中被研究.然而，时间依赖全空间Rn上带有线性记忆的波方程时间依赖吸引子的存在性目前还没有任何结果，因此我们在本文研究这一问题解的长时间行为.

2.准备知识

不失一般性，记H =L2(Rn)，内积和范数分别为〈·，·〉和‖·‖.对于s ∈R+，记Hs=Hs(Rn)=并赋予以下内积和范数:

特别地，

对于t ∈R，s ∈R+，有下面的时间依赖空……